행렬에 대한 예비교사들의 교과 내용 지식 분석

Ball 외(2005)에 따르면 수학교사의 SCK는 수학적 아이디어를 표상하거나 여러 표상을 연결 지어 다루는 데 주요하게 작용한다. 문항 1의 범주 Ⅰ에 속한 예비교사 중 3명은 식재료의 전체 양을 구하기 위해 실생활 맥락의 표를 $P=\left(\begin{array}{ccccc}1.2& 0& 1.4& 2.6& 5.2\\ 0& 1.6& 1.6& 2.8& 4.7\\ 1.4& 1.8& 0& 3& 4.4\end{array}\right)$과 같이 행렬로 표상하고, 인분과 관련된 자료는 행 행렬 Q=(14 16 18)로 표현하여 아래 ㉠처럼 간단히 처리하였다 $QP=\left(14\text{ 16 18}\right)\left(\begin{array}{ccccc}1.2& 0& 1.4& 2.6& 5.2\\ 0& 1.6& 1.6& 2.8& 4.7\\ 1.4& 1.8& 0& 3& 4.4\end{array}\right)\cdots \text{㉠}$

또한 식재료를 준비하는 전체 비용은 각 재료의 가격을 열 행렬 $R=\left(\begin{array}{c}12500\\ 5200\\ 7800\\ 1400\\ 1100\end{array}\right)$로 표상하고 이를 ㉠의 오른쪽에 곱하여 (QP)R 로 바람직하게 구하였다.⁸⁾ 이처럼 범주 Ⅰ의 예비교사 3명은 여러 변수가 포함된 실생활의 표 자료를 행렬로 간단하게 표현한 다음 이를 처리하는 수학적 아이디어를 행렬의 곱셈으로 적절히 표상하여(S1), 문제에서 요구하는 새로운 정보를 효과적으로 산출하였다.

그러나 문항 1에 대해 범주 Ⅰ의 예비교사 2명과 범주 Ⅱ의 예비교사 3명은 식재료의 전체 양을 구하기 위해 인분에 대한 자료를 [그림 1]과 같이 열 행렬 $\left(\begin{array}{c}14\\ 16\\ 18\end{array}\right)$로 표현하고, 열 행렬과의 곱셈이 정의되도록 문제에 주어진 표의 구조를 일부러 조정하여 $\left(\begin{array}{ccc}1.2& 0& 1.4\\ 0& 1.6& 1.8\\ 1.4& 1.6& 0\\ 2.6& 2.8& 3\\ 5.2& 4.7& 4.4\end{array}\right)$ 로 표상하였다(S1).

그림 1. 열 행렬과의 곱셈이 정의되도록 표의 행렬 표상을 조정한 예비교사 답변 사례

Download Original Figure

[그림 1]에서 $\left(\begin{array}{ccc}1.2& 0& 1.4\\ 0& 1.6& 1.8\\ 1.4& 1.6& 0\\ 2.6& 2.8& 3\\ 5.2& 4.7& 4.4\end{array}\right)$ 는 열 행렬 $\left(\begin{array}{c}14\\ 16\\ 18\end{array}\right)$이 오른쪽에 곱해질 수 있도록 문제에 주어진 표의 행과 열을 바꾸어 표상한 것으로, 표를 문제에서 주어진 대로 행렬로 표현하여 자료를 간단하게 처리한 ㉠에 비해 복잡한 해결 방식이다. 이는 문항 1에서 점심 특선 메뉴에 쓰이는 식재료의 양과 같이 일정하게 고정된 자료를 표현하는 행렬은 A 로, 인분처럼 상황에 따라 변하는 자료는 보통 열 행렬 X 로 표현하고 이를 행렬 A 의 오른쪽에 곱하여 새로운 정보에 대한 행렬 Y 을 Y = AX 로 나타내는 선형대수의 전개를 반영한 자료 처리 방식으로 볼 수 있다. 이러한 전개는 행렬을 이용하여 많은 양의 자료를 괄호로 묶어 하나의 대상으로 나타내고 행렬의 곱셈을 적절히 정의함으로써 여러 변수가 포함된 자료 사이의 관계를 마치 일차함수 y = ax 처럼 표상한다는 점에서 수학적으로 의미 있는 접근이다(Smith, 2012). 실제로 이전 고등학교 수학 교과서는 연립일차방정식이나 선형변환과 행렬의 관계를 다를 때 [그림 2]처럼 열 행렬 X 를 A 의 오른쪽에 곱하여 AX = B 와 같이 제시하였으며 행 행렬을 A 의 왼쪽에 곱하는 경우는 전혀 없었다.

그림 2. 연립일차방정식의 행렬 표현 (우정호 외, 2010, p. 40)

Download Original Figure

한편 [그림 1]처럼 열 행렬과의 곱셈을 위해 문제에 주어진 표의 구조를 조정한 예비교사 중 3명은 식재료의 전체 비용을 구하려면 각 재료의 가격에 대한 자료를 행 행렬(12500 5200 7800 1400 1100)로 표현하고 이를 [그림 1]에서 얻은 결과의 왼쪽에 곱하여 $\left(125005200780014001100\right)\left\{\left(\begin{array}{ccc}1.2& 0& 1.4\\ 0& 1.6& 1.8\\ 1.4& 1.6& 0\\ 2.6& 2.8& 3\\ 5.2& 4.7& 4.4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}14\\ 16\\ 18\end{array}\right)\right\}$로 처리해야 하지만, 각 식재료의 가격을 행 행렬(12500 5200 7800 1400 1100) 로 나타내지 못하였다. 결국 이들은 문항 1의 일부 자료만 처리하고 식재료의 전체 비용을 얻는 데는 실패하였다(범주 Ⅱ).

이상에 따르면 예비교사 중 일부는 여러 변수가 포함된 자료를 처리하는 수학적 아이디어를 행렬의 곱셈으로 표상할 때 열 행렬이 다른 행렬의 오른쪽에 곱해지도록 문제에 주어진 자료의 구조를 조정하는 SCK를 보였으며, 이러한 SCK는 실생활 자료를 표현하고 처리하는 수학적 모델링의 도구로 행렬을 유의미하게 사용하는 데 제한적일 수 있다. 이는 다양한 사례를 통해 자료를 표현, 이해, 처리하는 과정을 경험하도록 한 2022 개정 교육과정의 행렬 교수-학습 목표가 수업에서 구현되려면 행렬 표상과 관련하여 예비교사들이 지닌 SCK를 개선하는 방안이 우선적으로 모색되어야 함을 시사한다.

수학 내외의 자료를 표현 및 처리하는 모델링 수단으로 행렬의 의미를 강조하는 국외 교과서는 행 행렬과 열 행렬을 적극적으로 다루어, 행렬의 연산을 활용하여 문제에서 요구하는 새로운 정보를 쉽게 얻을 수 있도록 한다(이경화, 김하림, 이송희, 2022). 이와 같은 국외 교과서 사례에 비추어, 대학 수학 교재나 고등학교 교과서에서 행 행렬과 열 행렬을 이용하는 행렬의 곱셈을 다양한 맥락으로 경험하는 기회를 제공할 필요가 있다.

행렬이 2022 개정 교육과정에 도입된 의도(이경화 외, 2022)를 고려하면, 행렬의 곱셈을 개념적으로 다루어 실생활 맥락의 자료를 처리하고 그 교수-학습의 의의를 적절히 인식하는 SCK가 행렬 교수 활동에 요구된다. 그러나 예비교사 16명은 문항 1의 자료 처리에 행렬의 곱셈을 오용하여(범주 Ⅲ) ‘곱셈이 정의되지 않는 행렬을 이용’하거나 ‘행렬의 곱셈을 행의 실수배’ 또는 ‘대응하는 성분의 곱’으로 계산하였으며, 주어진 자료를 처리하는 모델로는 적합하지 않은 ‘2×2 행렬을 이용’하였다.

범주 Ⅲ의 예비교사 8명은 행렬의 곱셈이 정의되지 않음에도 [그림 3]과 같이 3×1행렬 $\left(\begin{array}{c}14\\ 16\\ 18\end{array}\right)$을 5×3행렬$\left(\begin{array}{ccc}1.2& 0& 1.4\\ 0& 1.6& 1.8\\ 1.4& 1.6& 0\\ 2.6& 2.8& 3\\ 5.2& 4.7& 4.4\end{array}\right)$ 의 왼쪽에 곱하여 얻은 결과를 5×1행렬로 표현하였으며, 이를 1×5행렬(12500 5200 7800 1400 1100) 의 왼쪽에 곱한 결과를 1×1로 잘못 나타내었다.

그림 3. 곱셈이 정의되지 않는 행렬을 이용한 예비교사 답변 사례

Download Original Figure

행렬의 곱셈을 이용하여 자료를 바람직하게 처리한 모든 예비교사는(범주 Ⅰ) 주어진 자료를 행렬로 표현한 다음 [그림 4]의 와 같이 행렬의 크기를 살펴 그 곱셈을 수행하고 결과도 추측하는 전략을 사용하였다. 이는 실생활 자료를 표현 및 처리하는 모델링 도구로 행렬을 이용하는 데 행렬의 곱셈이 정의되는 조건을 확인하는 과정이 주요한 발견 전략이 됨을 보여준다.⁹⁾

그림 4. 행렬의 곱셈을 이용하여 자료를 바람직하게 처리한 예비교사 답변 사례¹⁰⁾

Download Original Figure

행렬을 모델링 수단으로 활용하는 데 주목하는 싱가포르와 호주 교과서는 곱셈이 정의되는 조건을 강조하기 위해 이를 학생들끼리 토론하여 음미하는 기회를 부여한다(이경화, 김하림, 이송희, 2022). 특히 호주의 고등학교 졸업 자격시험인 VCE(Victorian Certificate of Education)에는 [그림 5]처럼 행렬의 연산이 정의되는지 묻는 문제가 자주 출제된다. 이상에 따르면 행렬의 곱셈이 정의되는 조건이 2022 개정 교육과정의 행렬 교수-학습에서 갖는 교수학적 의의를 적극적으로 논의해 볼 필요가 있다.

그림 5. 행렬의 연산이 정의되는지 묻는 호주 고등학교 졸업 자격시험 문제(VCE, 2021, p.20)

Download Original Figure

이외에도 범주 Ⅲ의 예비교사 6명은 [그림 6]처럼 ‘행렬의 곱셈을 행의 실수배’ 또는 ‘대응하는 성분의 곱’으로 계산하였다.

그림 6. 행렬의 곱셈을 행의 실수배(위) 또는 대응하는 성분의 곱(아래)으로 계산한 예비교사 답변 사례

Download Original Figure

[그림 6]의 예비교사들은 선형대수Ⅰ, Ⅱ를 우수한 성적으로 이수하였으며 수학적인 맥락에서는 행렬과 그 연산을 탐구하는 데 전혀 문제가 없었다. 그럼에도 불구하고 이들이 [그림 6]처럼 행렬의 곱셈을 활용하여 실생활 맥락의 자료를 처리하는 데 한계를 보인 것은 학문적인 수학을 배운 것만으로는 이를 응용 상황에 적용하여 수업에서 적합한 방식으로 지도하는 교사 역량이 개발되지 않을 수 있음을 보여준다(Figueiras et al., 2011). 또한 범주 Ⅳ의 예비교사 10명은 문항 1이 행렬과 그 연산을 이용하는 방법에 대해 구체적으로 설명하도록 요구하였음에도 행렬을 전혀 이용하지 않고 문제 해결을 시도하였다. 이상에 따르면 연구대상 34명 중 26명이 행렬 및 그 곱셈을 통해 실생활 맥락의 자료를 표현하고 처리하는 데 어려움을 보인바, 수학적 모델링 도구로 행렬을 다루는 예비교사들의 SCK에 적지 않은 한계가 있음을 보여준다(S2).

한편 문항 2의 답변에서 예비교사 28명은 문항 1이 행렬 교수-학습에서 갖는 한계를 지적하였으며, 특히 문항 1의 범주 Ⅲ, Ⅳ에 속한 예비교사 중 21명은 ‘행렬을 이용하지 않아도 풀 수 있다’(12명), ‘행렬의 편리성을 알 수 없다’(5명), ‘계산이 복잡하다’(4명)와 같이 기술하여 그 의의를 인식하지 못하는 모습을 보였다(S3). 이는 문항 1의 범주 Ⅰ에 속한 예비교사 중 4명이 행렬 교수-학습에서 문항 1이 지닌 의의와 한계를 [그림 7]과 같이 모두 기술한 것과는 대조를 이룬다.

그림 7. 문항 2에 대한 예비교사 답변 사례 1, 2

Download Original Figure

나아가 문항 1의 범주 Ⅰ에 속한 예비교사 중 3명은 “행과 열의 개수가 각각 2를 넘지 않는 범위에서 행렬의 곱셈을 다루도록”(교육부, 2022, p. 63) 명시한 2022 개정 교육과정의 성취기준 해설에 비추어 [그림 7]과 같이 문항 1의 한계를 지적하였다. 행렬을 이용하여 자료 모두를 바람직하게 처리한 예비교사는 행렬 교수-학습에 실생활 맥락의 과제가 필요한지 여부로 그 한계를 지적하기보다 “여러 값이 포함된 자료는 행렬 표현과 연산을 통해 효율적으로 처리된다”(교육부, 2022. p. 59)는 핵심 아이디어를 행렬 교수-학습에서 구현하는 것을 전제로, 수업에 쓰일 실생활 과제의 질을 교육과정에 비추어 평가하는 특징을 보인바, 핵심 아이디어와 관련된 교육과정 실행의 하향식 모델(송창근, 이경화, 2023)의 사례가 범주 Ⅰ의 예비교사들에게서 드러났다.

교사는 대학 수학을 통해 학문적 수학을 경험함으로써 가르칠 수학 이면에 존재하는 구조를 이해하게 되며 학교 수학을 폭넓은 수학적 견지에서 조망하는 HCK를 개발한다(Ball & Bass, 2009). Mellone 외(2015)에 따르면 풍부한 HCK를 지닌 교사는 학생의 예상치 못한 질문이나 의견에 수학적으로 적절하게 대처할 수 있다. 그러나 문항 3에서 예비교사 13명은 행렬의 곱셈을 특정 방식으로 정의하는 이유를 묻는 학생에게 ‘행렬의 곱셈이 정의되는 조건’(범주 Ⅱ)이나 ‘행렬의 크기’(범주 Ⅲ)와 관련된 설명을 제시하였으며, 이는 행렬의 곱셈 정의 자체를 그대로 기술한 것과 큰 차이가 없었다.

[그림 8]과 같이 예비교사 5명은 ‘행렬의 곱셈이 정의되려면 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행의 개수가 같아야 한다’고 하였으며, 8명은 ‘학생의 말처럼 행렬의 곱셈을 정의하면 크기가 다른 행렬의 곱셈은 할 수 없다’는 답변을 제시하였다.

그림 8. 문항 3에 대한 예비교사 답변 사례 1, 2

Download Original Figure

[그림 8]의 기술은 행렬의 곱셈이 특정 방식으로 정의되는 이유를 설명한 것이라기보다 행렬의 곱셈은 앞뒤 행렬이 어떤 조건을 만족하거나 그 크기가 다를 때도 정의할 수 있어야 하는데, 대응하는 성분의 곱으로 정의하면 그러한 조건을 만족할 수 없으므로 학생처럼 하면 안된다는 답변에 불과하다. 이는 행렬의 곱셈 정의에 대한 이유를 설명하는 대신 행렬의 정의 자체를 그대로 기술하여 학생의 의견이 바람직하지 않음을 알려주는 데 주목한 것으로(H1), 행렬의 곱셈이 지닌 수학적 의미에 비추어 학생의 의견을 적절히 다루는 예비교사들의 HCK에 한계가 있음을 보여준다.

Even & Tirosh(1995)에 따르면 수학에서 어떤 내용이 성립하는 이유를 정의나 규칙에 기대어 그대로 진술하는 식으로 설명하는 교사는 수학을 임의적인 공리 및 정의와 그로부터 만들어진 규칙의 체계로 보는 경향이 있으며 수학 학습도 이러한 공리, 정의, 규칙을 숙지하고 암기하여 활용하는 데 목표를 두는 경우가 많다. 이는 문제 3의 범주 Ⅱ, Ⅲ에 속한 예비교사들이 행렬의 곱셈을 수학적 탐구 활동의 결과가 아니라 임의적 규약과 지켜야 할 계산 규칙 정도로 이해하고 있을 가능성을 시사한다.

앞서 예비교사들이 행렬의 곱셈을 임의적인 규약으로 인식하고 있을 가능성이 드러났다. 실제로 문항 3에서 예비교사 8명은 행렬의 곱셈이 특정 방식으로 정의되는 이유를 행렬의 곱셈 정의가 지닌 의미와는 무관하게 수학에서 ‘정의는 약속이며 따라서 외워야 한다’고 설명하였다(범주Ⅰ). 또한 문항 3에서 범주 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ에 속한 예비교사 중 각각 3명, 2명, 3명은 문항 4에 대해 [그림 9]와 같이 자기 자신도 ‘정의는 수학적인 약속이므로 받아들이는 편’이라고 답하거나 수학 전공자에게도 ‘정의니까 받아들이고 외워야 한다’고 설명하겠다는 답변을 하였다. 예비교사 상당수가 행렬의 곱셈 정의를 목적이 있는 탐구 활동의 결과라기보다 임의적인 약속으로 인식하는 경향이 있다(H2).

그림 9. 문항 4에 대한 예비교사 답변 사례 1, 2

Download Original Figure

정의의 의미와 본질을 이해하는 것은 수학적인 활동의 토대가 되며 수학의 구조가 만들어지는 과정을 경험하는 데 기여한다(Tall, 2013). Robin, Fuller, & Harel(2013)는 수학에서 개념이나 연산을 특정 방식으로 정의하는 데는 그럴만한 이유가 있으나, 수학을 전공한 대학생들조차도 이를 충분히 이해하지 못하는 경우가 많다. Fischbein(1993)에 따르면 수학은 인간 활동이며 이를 통해 정의가 만들어지므로, 정의의 이면에 존재하는 사고를 아는 것은 인간 활동으로서 수학의 본질을 이해하는 데 주요하다.

수학 개념이나 연산이 정의되는 의도나 그 이면의 사고가 교수학적 상황에서 다루어지지 않는다면, 학생들은 수학을 임의적인 정의와 규칙의 더미로 밖에 느끼지 못할 것이다(Even & Tirosh, 1995). 교사는 가르칠 지식인 수학 개념이나 연산이 정의되는 이유를 다른 수학적 대상과 연결하여 깊이 있게 이해할 필요가 있으며(Montes et al., 2016; Vale et al., 2011), 이를 적절히 조직하여 수학적 모델의 타당성을 입증할 수 있어야 한다(Shulman, 1986). 이를 통해 교사는 개념적으로 연결된 다양한 표상을 활용하여 수학적으로 의미 있는 수업을 진행할 수 있다(Turner & Rowland, 2011)

본 연구에서 적지 않은 예비교사가 행렬의 곱셈을 [그림 9]처럼 단순한 약속으로 파악하고 이를 공식화하여 암기하도록 다루겠다고 한 것이나, 문항 3, 4에 대해 각각 13명, 17명이 답변 자체를 하지 못한 것은 행렬의 곱셈을 폭넓은 수학적 견지에서 조망하여 수학적인 탐구 활동의 결과로 인식하는 예비교사의 HCK에 한계가 있음을 보여준다. 정영우 외(2011)에 따르면 수학교사는 지도하는 내용에 대해 아는 것을 넘어 가르칠 지식인 수학이 왜, 어떻게 만들어지고 발전되어 왔는지 그 이면의 사고도 볼 수 있어야 한다.

행렬의 곱셈 정의를 단순히 계산 기술로서가 아니라 수학적인 탐구 활동에서 문제 상황을 단순화하기 위해 창안된 수학적 도구로 인식하는 HCK는 2022 개정 수학과 교육과정에 명시된 핵심 아이디어인 “여러 값이 포함된 자료는 행렬 표현과 연산을 통해 효율적으로 처리된다”(교육부, 2022, p. 59)를 행렬 교수-학습에서 실제로 구현하는 데도 필요한 교사 지식이다. 구체적인 학습 요소에 대해 교사가 지닌 내용 지식 및 인식은 교사의 수업 실행에 직접적인 영향을 미쳐 학생의 수학 학습을 결정짓는 중요한 요소 중 하나로 작용하는바(Guberman & Gorev, 2015), 2022 개정 수학과 교육과정의 의도가 행렬 교수-학습에 의미 있게 반영되려면 행렬의 곱셈을 목적이 있는 탐구 활동의 성과로 보는 예비교사들의 HCK를 개발하는 데 좀 더 주목할 필요가 있다. 수학교사 양성기관의 선형대수 강좌는 행렬 및 그 연산의 이면에 담긴 수학적 사고를 예비교사들이 구체적으로 경험할 수 있도록 하는 교수학적 전략을 적극적으로 모색하여야 한다.

Vale 외(2011)는 HCK의 특징을 대학 수학 내용과 관련하여 설명한바, 본 연구는 행렬과 그 연산이 지닌 수학적 의의에 대한 예비교사들의 인식을 직접적으로 파악하고자 문항 4에서 행렬의 곱셈이 특정 방식으로 정의되는 이유를 수학 전공자에게는 어떻게 설명하겠는지 답하도록 하였다. 이에 대해 각각 예비교사 2명은 [그림 10]과 같이 연립일차방정식 및 선형변환과 관련된 설명을 제시하였다(H3).

그림 10. 문항 4에 대한 예비교사 답변 사례 1, 2

Download Original Figure

대학 선형대수 교재(Hefferon, 2020)가 행렬의 곱셈을 연립일차방정식 및 선형변환의 합성과 관련하여 직접적으로 다룸에도, 일부 예비교사만이 행렬과 그 연산의 수학적 의미를 연립일차방정식이나 선형변환에 비추어 설명한 이상의 결과는 대학 수학을 통해 해당 개념을 배운 것만으로는 문항 3과 같은 수업 상황에서 학생이 제기하는 의견에 수학적으로 적절하게 대처하는 것이 보장되지는 않음을 보여준다. 즉, 교사의 HCK가 대학 수학을 통해 개발될 수 있다 할지라도(Ball & Bass, 2009; Vale et al., 2011), 이는 전공 강의를 수강하는 것만으로는 충분치 않으며 수학의 개념, 절차, 성질 등을 의식적으로 연결하여 해석해 보는 교수학적 노력을 요구한다(Montes et al., 2016).

실제로 Figueiras 외(2011; Lavy & Shriki, 2010)은 학교 수학에서 다루는 개념의 정의를 알고 그 내용을 기술할 수 있는 교사라 할지라도 해당 정의의 수학적 의미와 본질을 이해하지 못하는 경우가 많다고 보고한바, 본 연구의 예비교사 중 상당수도 선형대수를 통해 행렬과 그 곱셈을 연립일차방정식 및 선형변환과 관련하여 학습하였지만 실제로 이들 개념을 연결하여 그 의미의 본질을 파악하는 데 어려움을 보였다. 행렬의 곱셈이라는 학교 수학의 내용을 대학 수학에 비추어 이해하고 이를 수학적 견지에서 조망하는 예비교사들의 HCK를 개발하기 위해서는 행렬과 그 연산의 본질을 연립일차방정식 및 선형변환과 관련하여 의식적으로 탐색하는 기회를 대학의 전공 강좌에서 제공할 필요가 있다.