중학교 2학년 기하 단원의 증명 관련 과제의 학습자 포지셔닝에 대한 분석

본 연구에서는 음성의 개념을 Herbel-Eisenmann (2007)이 제시한 교과서의 저자와 독자의 역할과 그들 간의 예상되는 관계를 설정하는 것으로 정의한다. 이 정의를 바탕으로 교과서에 제시된 과제의 음성은 교과서의 저자와 독자인 학습자들의 역할과 그들의 관계를 설정하는 데 기여하는 것으로 이해할 수 있다. Herbel-Eisenmann (2007)은 음성에 관한 연구를 위하여 사회언어학의 연구들을 분석하고 그 결과들을 바탕으로 몇몇 특징적인 언어적인 형태들을 분석하였다. 그러한 언어적인 형태들로는 ‘명령형’과 ‘형식(modality)’이 있는데 ‘명령형’은 다시 ‘포용적(inclusive)’ 또는 ‘배타적(exclusive)’으로 분류하고 각 유형에 속하는 동사들을 설정하였다. 이러한 ‘명령형’에 속하는 동사들을 통해 교과서의 저자들이 독자인 학생들을 수학의 공동체의 일원으로 간주하는지에 대한 함의를 할 수 있다고 주장하였다. 또한, 수학교육학 분야의 음성에 관한 연구에 관한 메타 연구인 Ryve (2011)에서는 음성에 관한 연구는 주로 대화 (78%)를 바탕으로 분석하였고 글을 자료로 분석한 연구는 9%에 그친다고 하였다.

교과서의 음성에 관한 연구들은 교과서 저자들의 언어 선택이 의도된 것이라는 전제에서 출발한다 (Morgan, 1996). 언어 선택은 “저자들의 세상에서의 물리적, 인지적, 사회적, 문화적, 개념적인 위치를 반영한다고 한다” (Kress, 1993, p. 173). 이러한 포지션을 Harre & van Langenhove (1999)는 “일반적인 개인 특성이 한 개인에게 권리, 의무, 또는 책임을 개인 간, 그룹 간 그리고 내적 행동들의 가능성에 영향을 받는 다양한 형태로 구조화된 복잡한 군” (p. 1)이라고 정의한다. 또한, Moghaddam 외 (2008)는 권리와 의무들의 배정은 역할의 시작이 된다고 주장했다. 한 사람의 포지션은 권리, 의무, 책임 등이 그 사람에게 어떠한 방식으로 구조화된 결과이고 역할이 그 포지션에 의해 규정된다는 측면에서 생각해본다면, 교과서의 음성은 그 교과서 저자가 그들의 의도적인 언어 선택을 통해 학생들에게 과제들을 제공하는 형태와 그로 인해 규정될 수 있는 학생들의 포지션과 역할에 대한 이해를 가능케 한다. 기존 증명 교육에 대한 연구들에서 보고된 바와 같이 증명은 일부 학생들에게만 국한되거나 소수의 수학자들에 행해진다는 (Basturk, 2010; Knuth, 2002) 관점은 학생들이 증명 관련 활동을 대함에 있어 자신들이 직접 증명을 하거나 추측을 형성하는 등의 능동적인 역할을 수행하는 포지션을 갖게 하는 것이 중요하다. 이러한 관점에서, 본 연구에서는 교과서의 음성을 분석함으로써 교과서 저자가 학생들에게 과제 수행을 요구하는 언어적 특성에 대하여 알아보고 이에 따라 학생들의 증명 관련 과제에 대한 포지셔닝을 분석하고자 한다.

교과서 분석은 수학교육의 한 연구 방법으로서 여러 학자들은 교과서에 포함된 기회들의 특성에 대해 알 수 있다고 주장한다 (Cai & Cirillo, 2014; Miyakawa, 2017; Stein, Remillard, & Smith, 2007; Stylianides, 2014; Valverde 외, 2002). 특히, Yackel & Hanna (2003)은 수학교육자들이 증명과 추론을 가르침에 있어 마주하는 어려움은 “큰 규모로 성공적으로 잘 실행되며 추론으로써 수학을 촉진시키는 교실 수학 실천의 형태를 교사들이 개발하는 데 도움을 줄 수 있는 수단을 개발하는 데에 있다고 했다” (p. 234). 이러한 관점에서 증명과 추론에 관한 교과서에 제시된 기회, 과제의 특성을 분석하는 연구는 수학교육학자들에게 교과서라는 교수 수단을 개발하는 데에 대한 고려할 만한 사항들에 대한 정보를 제공할 수 있다. 이에 본 연구에서는 학생들의 수학에 대한 긍정적인 태도 형성과 자아 형성에 영향을 줄 수 있는 교과서 저자와 학습자들의 포지셔닝에 대해 분석하고자 한다.

국내외의 교과서 분석 연구는 다양한 내용 영역과 학년을 대상으로 연구가 진행되었다. 교과서 분석 연구들은 중학교의 기하 영역 (Bergwall, 2021; Bergwall & Hemmi, 2017; Fujita & Jones, 2014; Miyakawa, 2017; Otten, Males, & Gilbertson, 2014; Zhang & Qi, 2019)에 대해 이루어졌거나 지수, 로그 , 다항식 등의 대수 영역에 포함된 특정 개념들에 대해 이루어졌다 (Bieda 외, 2014; 서희주, 이선영, 한선영, 2019; 정혜윤 & 이경화, 2016; 한인기, 2005). 이러한 연구들은 교과서 분석에 있어서 분석 단위를 ‘과제’ (Davis 외, 2014), ‘블록’(Fujita & Jones, 2014)으로 설정하고 각 연구팀의 연구 목표에 따라 각기 다른 분석틀로 결과를 보고했다. 예를 들어 Davis 외 (2014)는 ‘과제’로 분석 단위를 설정하고 각 과제의 특성을 분석한 반면, Fujita & Jones (2014)는 ‘블럭’으로 규정하여 증명이 도입되는 단원의 도입부를 분석하였다. 앞에 언급된 연구들은 중학교 교과서를 대상으로 분석했으나 Bieda 외 (2014)나 Charalambous 외(2010)는 초등학교 교과서를 분석하였다.

증명 관련 활동 또는 증명에 초점을 둔 교과서 분석 연구는 예상되는 증명 관련 활동의 종류, 기대되는 답변의 유형 등에 대한 질적 분석이 주를 이루고 음성에 관한 연구는 진행되지 않았다. Stylianides (2014)는 교과서를 분석하면서 증명 관련 과제들에서 기대되는 증명 관련 활동의 종류와 빈도에 대한 분석과 더불어 수학적 주장을 뒷받침하는 ‘보증(Warrant)’의 종류에 대해 보고하였다. 또한, 기대되는 수학적 주장의 유형을 증명 또는 비증명으로 구분하여 학생에게 증명이 기대되는 빈도에 대하여 분석하였다. Fujita & Jones (2014)는 기대되는 증명 및 추론의 형태를 ‘분명한 패턴 발견하기’, ‘추측하기와 발견하기’, ‘비증명 논증: 경험적’, ‘비증명 논증: 설명’, ‘증명 논증: 직접 증명’, ‘증명 논증: 반박하기와 같은 다른 추론’으로 구분하여 분석하였다. 그 외 다른 교과서 분석 연구에서도 유사하게 교과서 간 비교 (Bergwall & Hemmi, 2017; Fujita & Jones, 2014; 정혜윤 & 이경화, 2016) 또는 개별 교과서에 포함된 증명 관련 활동의 종류와 기대되는 답변 유형 (Fujita & Jones, 2014; Stylianides, 2014)에 대해 분석하였다. 하지만, 증명 관련 활동에 초점을 둔 교과서 분석 연구에서 ‘음성’과 그에 따른 학생에 대한 포지셔닝에 대한 연구는 진행되지 않았다. 이에 본 연구에서는 교과서에 제시된 증명 관련 과제들의 특성을 음성과 포지셔닝의 관점에서 분석하고자 한다.

본 연구에서는 한국의 중학교 2학년 교과서 기하 단원을 대상으로 자료를 수집하였다. 기하 단원에 해당하는지 확인하기 위하여 교사용 지도서를 참고하여 교과서별로 범위를 특정하였고 한국 교과서 검인정위원회의 자료(연월)를 참고하여 10종의 검정 교과서에서 자료를 추출하였다.

‘과제(task)’란 개별 정답으로 구분되는 단위로서 Davis 외 (2014)의 교과서 분석 연구의 과제에 대한 개념을 바탕으로 설정하였으며, 정답이 다른 과제들은 서로 다른 과제로 간주하였다. 다음과 같은 과제의 경우, 두 개의 하위 과제가 포함된 형태로 진술되어 있고 각 하위 과제가 별개의 정답과 함께 제시되어 두 개의 과제로 분석하였다.

‘과제’를 수치화하여 분석하기 위해 각 교과서의 기하 단원을 먼저 분석하여 과제의 개수를 산출하고 그 결과를 각 교과서의 기하 단원에 해당하는 교과서 쪽수의 10퍼센트 해당하는 교과서 쪽을 표본으로 추출하여 다른 수학 교사의 코딩 결과와 비교하였다. 그 수학 교사는 약 10년의 중, 고등학교 교육경력이 있고 석사학위를 취득하여 본 연구의 코딩 과정에 대한 이해가 있다고 볼 수 있었다. 그 표본에 대한 코딩 비교 결과, 97.3%의 퍼센트 동의를 보였다.

과제 중 ‘증명 관련 과제’를 증명 관련 활동을 수반하는 과제로 정의하고 증명 관련 활동은 ‘일정한 패턴 또는 규칙성 파악하기’, ‘추측(가설) 형성하기’, ‘추측(가설) 검증하기’, ‘증명의 일부 또는 전체 완성하기’로 규정하였다. 과제들에 대해 증명 관련 활동을 수반하는지에 대해 코딩하였고 10퍼센트의 과제를 표본으로 추출하여 다른 수학 교사의 코딩 결과와 비교하였다. 그 결과, 93.4%의 퍼센트 동의를 보였다.

증명 관련 과제들의 진술 형태를 개방 코딩(Creswell & Poth, 2016)의 형태로 코딩하여 증명 관련 과제에서 사용되는 진술의 형태를 구분하여 코드를 개발하였다. 일차적인 분석을 통해 정의한 코드들을 이용하여 반복적인 코딩을 통해 정의한 코드들은 표1과 같다.

위의 코드를 이용하여 각 증명 관련 과제의 언어 요소를 분석하면서 ‘-시오’와 ‘-ㄴ지’가 함께 사용된 과제들에 대해서는 중복 코딩을 허용하였다. 예를 들면, “주어진 삼각형이 이등변삼각형인지 말하시오.”로 진술된 과제의 경우에는 ‘-시오’와 ‘-ㄴ지’의 코드를 모두 적용하였다.

Herbel-Eisenmann & Wagner (2007)은 교과서가 학생들을 어떻게 포지션하는가에 대해 밝히기 위하여 교과서의 과제들에서 사용되는 몇 가지 언어적 형태들에 초점을 두었다. 그 언어적 형태들은 아래의 질문 각각에 대하여 설정되었다. 먼저, 그들의 분석틀을 이루는 핵심 질문들은 다음과 같다.

본 연구에서는 첫 번째 질문에 대해서 증명 관련 과제들을 분석하였다. 그 질문에 대하여 Herbel-Eisenmann & Wagner (2007)는 개인적 대명사(personal pronouns), 형태(modality)와 이러한 형태들을 구체화할 때 함께 제시되는 도식(figure)에 초점을 둔 분석을 하였으나 본 연구에서는 형태와 과제의 진술 형태의 한국어적 특성에 초점을 맞추어 분석하였다. 특히, 교과서의 저자와 독자의 사회적 관계를 내포할 수 있는 높임법의 사용과 관련하여 분석하고 일부 증명 관련 과제의 진술 형태가 독자가 수행할 증명 관련 활동에 어떠한 함의를 갖는지 분석하였다.

국내 10종의 중학교 2학년 수학 교과서의 ‘기하’ 단원에서 분석한 ‘과제’, 그중 증명 관련 활동을 수반하는 ‘증명 관련 과제’들의 수는 아래의 표와 같다. 과제의 수는 교과서별로 최소 243개에서 최대 407개까지 다양하게 나타났고 평균은 302.2개, 표준편차는 43.4개로 나타났다. 증명 관련 과제들의 수는 32개에서 129개까지 분포하였고 평균 69.2개, 표준편차 28.5개로 나타났다. 증명 관련 과제의 수를 기하 단원에 포함된 전체 과제의 수에 대한 비율로 생각할 경우, 평균적으로 22.9%의 비율을 차지하였다.

‘증명 관련 과제’들에 사용된 표현들로는 ‘-시오’, ‘-ㄴ지’, ‘-것인가’가 있다. 이에 해당하는 과제들은 그림 1, 그림 2와 같이 ‘빈칸에 써넣으시오’, ‘주어진 사각형이 평행사변형이 되는지 말하시오’의 형태로 진술되어 있다. 이 두 표현의 특징은 과제의 진술에 예상 독자(학생)를 지칭하는 언어적 요소는 포함이 되어 있지 않다는 것이 있다. 이러한 독자를 지칭하는 일인칭 대명사의 부재는 다른 증명 관련 과제들에서도 모두 나타났다. 이러한 독자를 지칭하는 대명사의 부재가 특징인 표현은 Morgan (1996)에 따르면 교과서로부터 인간의 존재를 불명확하게 하고 수학적 활동의 모습과 저자와 독자 간의 거리감을 늘려 공식적이고 형식적인 관계를 설정한다는 것이 있다. 또한, 독자 또는 독자를 지칭하는 대명사의 부재는 수학 교과서의 전형적인 특징이라고 밝힌 바 있다.

그림 1. 과제 예시 (김원경 외, 2018, p. 209)

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그림 2. ‘-시오’로 진술된 과제 예시 (고호경 외, 2018, p. 161)

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그림 3. ‘-시오’로 진술된 증명 관련 과제 예시 (박교식 외, 2018, p. 176)

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그림 4. ‘-ㄴ지’ 예시 (이준열 외, 2018, p. 200)

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이러한 과제들에 사용된 표현은 ‘-시오’로 표현되는 ‘하오체’의 예사높임법, ‘-ㄴ지’와 인지 동사(말하다, 결정하다 등)가 결합한 형태가 있다. 전자의 경우 예사높임의 한 방법으로 화자(교과서 저자)가 독자(독자인 학생)들을 조금 높거나 대등한 사회적 관계를 나타내는 것이다 (나동숙, 2016; 임지룡, 2015). 후자의 경우, 의문과 추측의 의도를 표현하여 독자로 하여금 의문과 추측에 관한 판단을 표현하도록 요청하는 것이 있다 (이금희, 2016). 또, ‘-것인가’로 표현된 의문형이 있었다. 이러한 언어적 형태의 분석을 교과서별로 행한 결과는 아래의 표와 같다.

각 언어 요소별로 결합한 동사 중 여러 교과서에서 2개 이상의 교과서에 사용된 동사들만을 찾아 분석한 결과는 표와 같다. 본 연구는 각 교과서별 음성을 비교하는데에 그 연구 목적이 있으므로 한 교과서에서만 쓰였거나 한 과제에 두 개 이상의 동사가 사용된 것 중 증명 관련 활동을 유도하는 동사들에 대해서만 분석하였다. 본 분석에서 제외된 동사들로는 ‘예상하다’, ‘그리다’, ‘토의하다’가 있다. 또한, ‘써넣다’는 ‘채우다’와 유사한 의미로 사용되어 ‘채우다’로 코딩하였다.

‘-ㄴ지’가 포함된 형태가 포함된 형태로 기술된 증명 관련 과제들은 ‘확인하다’, ‘결정하다’, ‘말하다’와 같은 동사들과 결합한 특징이 있다. 이러한 유형의 증명 관련 과제가 포함된 교과서와 과제의 수는 박교식 외 (2018)의 경우 2개, 김원경 외 (2018)의 경우 8개, 장경윤 외 (2018)의 경우 2개, 이준열 외 (2018)의 경우 6개이고 그 외의 교과서들에서는 해당되는 증명 관련 과제가 포함되어 있지 않았다. ‘-ㄴ지’가 포함된 형태로 진술된 증명 관련 과제들은 장경윤 외 (2018)의 경우를 제외하고는 ‘확인하다’ 또는 ‘말하다’의 동사와 결합한 형태로만 기술된 특징이 있었다.

중학교 2학년 기하 단원에 제시된 증명 관련 과제들의 진술에 사용된 표현들은 화자(교과서 저자)와 독자(학생)의 관계에 대한 해석을 가능케 한다. 첫째, ‘-하시오’는 격식체로서 예사높임의 표현으로 화자와 독자의 심리적, 사회적 거리가 있고 독자가 화자에 비해 대등하거나 조금 높은 관계에 있으되 화자가 더 낮은 위치에 있지 아니함을 의미한다. 그러므로 ‘-하시오’의 표현으로 진술된 증명 관련 과제들은 독자인 학생들을 화자인 교과서 저자와 비슷하거나 더 높은 지위로 설정하는 것으로 해석할 수 있다. 둘째, ‘-ㄴ지’가 포함된 증명 관련 과제들은 ‘가설을 검증’하는 과제들로써 ‘-인지’로 기술된 수학적 가설에 대한 추측과 의문에 대한 단서를 제공한다고 볼 수 있다. 이금희 (2016)에 따르면 ‘-ㄴ지’가 ‘알다’, ‘말하다’와 같은 인지 동사와 결합된 형태의 모문으로 기술된 경우에 ‘-ㄹ지’에 비하여 추측, 의문의 막연성이 약화된다고 보고한 바 있다. 이러한 관점에서 ‘-ㄴ지 말하시오’의 형태로 기술된 증명 관련 과제들은 독자에게 제시된 추측, 의문에 대한 어느 정도의 막연함을 제거한 채로 수학적 참, 거짓을 판단하게끔 요청하는 것으로 볼 수 있다. 즉, 막연함이 약화된 수학적 추측, 의문을 제시함으로써 독자인 학생들로 하여금 참, 거짓여부 판단의 대상이 되는 추측, 의문이 거짓이기 보다는 참일 것일 가능성이 높다는 생각으로부터 가설을 검증할 수 있을 것으로 보인다. 즉, 주어진 가설의 진위여부 보다는 참인 이유를 말하도록 요구되는 형태로 진술이 되어 있다고 보인다.