고등학생의 수학 학업성취 특성 분석: 2015-2018년 국가수준 학업성취도 평가를 중심으로¹⁾

고등학교 수학과의 2015~2018년 학업성취도 평가 출제 현황을 분석한 결과는 <표 2>와 같다. 2015년부터 2018년까지 출제된 문항 중 공개 문항은 146개이며, 이에 해당하는 교육과정의 성취기준 수는 53개이다. 출제된 문항을 검토한 결과 다항식 영역의 성취기준 ‘다항식의 곱셈과 나눗셈을 할 수 있다.’는 다항식의 곱셈에 관한 문항은 있지만 다항식의 나눗셈에 관련된 문항은 출제되지 않아 분석 대상 성취기준에서 제외하였다. 따라서 본 연구에서 분석한 문항과 성취기준 수는 각각 146개, 52개이다. 성취수준별 학업성취 특성은 성취수준별 대표 문항²⁾과 해당 문항에서 요구하는 인지 특성에 대한 분석을 바탕으로 진술된다(이인호 외, 2014). 출제된 문항 중 15개가 우수학력의 정답률이 70% 미만으로 나타나 특정 학력의 대표문항으로 선정되지 못하였고, 기초학력의 정답률이 70% 이상으로 나타난 문항은 8개였다.

고등학교 수학에 대한 학업성취 특성을 파악하기 위해 학업성취도 평가 출제 범위에 해당하는 2009 개정 교육과정의 성취기준을 학업성취도 평가 문항과 연결하고, 성취기준에 대한 출제 문항의 학업 성취도 평가 결과를 분석하여 성취수준 집단별 숙달 여부를 파악하였다. 이를 위한 절차는 [그림 1]과 같다.

그림 1. 교육과정 성취기준에 대한 고등학교 수학과 학업성취 특성 분석 절차 ※ 출처: 구자옥 외(2019, p. 53)의 내용을 일부 재구성함.

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분석 절차의 1단계에서는 연구진이 교육과정 성취기준과 학업성취도 평가 결과를 연계하고, 학업성취 특성 도출을 위한 1차 초안을 개발하였다. 우선 교육과정 성취기준에 대한 학생들의 성취 특성을 파악하기 위해 NAEA 성취기준과 교육과정의 성취기준을 연결하고, NAEA 성취기준에 해당하는 2015〜2018년 출제 문항 및 평가 결과를 분석하여 교육과정의 성취기준 숙달 여부를 판단 하였다. 교육과정의 성취기준 숙달 여부를 판단하는 과정에서 성취기준이 중복되어 있는 문항 중 어떤 성취기준의 영향으로 결과가 도출되었는지 판단하기 어려운 경우 해당 문항은 분석에서 제외하였다. 이를 토대로 교육과정 성취기준에 대한 학업성취도 평가 출제 문항 정보를 바탕으로 성취수준별 대표문항 정보를 분석하여 각 성취기준에 대한 성취수준 집단별 숙달 여부를 분석한 1차 초안을 개발하였다.

2단계는 1단계에서 도출한 1차 초안에 대해 연구자와 외부 전문가 4명이 포함된 전문가협의회를 통해 성취수준 집단별 숙달 여부 분석에 대한 심층 검토를 하였다. 이를 통해 교육과정 성취기준에 대한 성취수준 집단별 숙달 여부에 대한 1차 초안을 수정하였다.

1단계와 2단계에서 성취수준 집단별 숙달 여부와 학업성취 특성을 분석하기 위해 교육과정 성취기준에 대한 성취기준별 평가 문항 및 문항 정보(내용 및 행동 영역, 정답률, 대표문항 정보 등)를 고려하였다. 이때 활용한 성취수준 집단별 숙달 여부 분석을 위한 판단 기준은 <표 3>과 같다.

3단계 포커스 그룹 의견 조사에서는 전문가협의회를 통해 산출한 2차 자료에 대한 타당성을 검증하기 위해 10명의 포커스 그룹을 구성하고 2차 자료에 대한 동의 정도를 조사하였다. 포커스 그룹은 학업성취도 평가 출제 및 검토, 교육과정 관련 연구 등에 참여한 경험이 있는 교사 및 교과교육학 교수 등으로 구성하였다. 2단계에서 판단이 불가한 것으로 분석된 성취기준(C)은 타당성 검증에서 제외하였고, 대표문항 정보가 상이한 경우(B)와 함께 일부 교과는 대표문항 정보가 동일한 경우(A)도 포함하여 2차 자료에 제시된 분석 결과에 대한 동의 정도를 리커트 4점 척도⁴⁾로 조사하였다.

3단계 조사 결과에 대해 척도 평균, 내용타당도 비율(Content Validity Ratio: CVR), 합의도(Degree of consensus)와 변동계수(Coefficient of Variation: CV) 등을 산출하였으며 구체적인 분석 방법은 다음과 같다. Lawshe(1975)에 따르면 내용타당도 비율(CVR)은 전체 응답자 수 대비 타당하다고 긍정적으로 응답한 수의 비율을 나타낸 것으로, 모든 응답자가 타당하다고 응답하였을 경우 1.00, 절반만 타당하다고 응답하였을 경우 0.00, 절반 미만일 경우 음수로 나타난다. Lawshe(1975)는 응답자의 수에 따라 충족해야 하는 내용타당도 비율(CVR)의 최솟값⁵⁾을 제시하였으며, 최솟값 이상이 되어야 내용타당도가 확보된 것으로 해석될 수 있다.

본 연구에서는 포커스 그룹의 합의의 정도를 판단하기 위해 합의도와 변동계수(CV)를 산출하였는데, 합의도는 75 백분위점(Q₃), 25 백분위점(Q₁), 중위수(M_dn)를 이용하여 구할 수 있다(이종성, 2006, p. 60). 합의도의 범위는 0에서 1이며, 75 백분위점(Q₃), 25 백분위점(Q₁)이 일치할 경우 1의 값이 나타나고 1에 가까울수록 높은 합의도를 의미한다.

변동계수(CV)는 표준편차를 산술평균으로 나누어 계산할 수 있으며, 전문가들의 응답이 일치할수록 합의 정도의 안정성이 높아진다고 할 수 있다. 변동계수(CV)가 0.5 이하인 경우 높은 수준의 합의로 안정성이 확보되었다고 볼 수 있으며, 0.5〜0.8인 경우 비교적 안정적이며, 0.8 이상인 경우 낮은 수준의 합의로 추가 설문이 필요하다(노승용, 2006, p. 56; English & Kernan, 1976).

마지막으로 4단계에서는 통계 분석 결과, 내용타당도 비율 및 합의도가 일정 수준 이상 확보되지 않은 성취기준에 대해서 연구자가 전문가협의회의 분석 내용과 포커스 그룹이 동의하지 않는 이유를 총체적으로 고려하여 각 성취기준의 숙달 집단에 대해 최종 판단하였다.

학업성취도 평가 출제 범위에 해당하는 2009 개정 고등학교 수학과 교육과정의 53개 성취기준을 학업성취도 평가 문항과 연결하고, 성취기준별 출제 문항의 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 성취수준 집단별 숙달 여부를 분석하였다. 분석 결과에 대해 전문가협의회를 통해 판단 불가에 해당하는 문항과 성취기준별 최소 숙달 집단을 확정하였다. 판단 불가에 해당하는 성취기준은 2개로, 해당 문항의 평가 내용이 지엽적이어서 성취기준에 대한 숙달 여부를 판단하기에 부족한 경우(C-2)가 1개, 어떤 학력의 대표문항으로도 분류되지 못하는 경우가 1개였다. 예를 들어 다항식 영역의 ‘수학1112. 다항식의 곱셈과 나눗셈을 할 수 있다.’는 성취기준의 학습 요소 중 다항식의 나눗셈에 대한 이해를 측정하는 문항이 출제되지 않았기 때문에 이 성취기준은 판단 불가(C-2)로 구분하였다. 또한 ‘수학1332. 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.’의 성취기준에 해당하는 문항의 경우, 네 문항 중 한 문항만 우수학력의 대표문항이고, 나머지 세 문항은 우수학력도 숙달하지 못한 문항이기 때문에 전문가협의회에서 문항과 성취기준 간의 관계를 분석하여 우수학력도 숙달하지 못한 성취기준으로 판단하였다.

하나의 성취기준에 대해 출제된 문항별로 대표문항 정보에 차이가 나는 성취기준(B)은 26개로 나타났으며, 이 성취기준에 대해서 고등학교 수학과 포커스 그룹 10명을 대상으로 최소 숙달 집단 분석 결과의 타당성을 조사하였다. 조사 대상 성취기준에 대한 성취수준별 숙달 여부 분석의 타당성에 대한 응답 척도 평균은 2.9〜4, 내용타당도(CVR)는 0.20〜1, 합의도는 0.42〜1, 변동계수(CV)는 0〜0.38로 나타났다.

성취수준별 숙달 여부에 대한 타당도 검증 과정에서 포커스 그룹에서 제시한 논의 사항을 정리하면 <표 4>와 같다. 고등학교 수학과의 방정식과 부등식 영역에서는 성취기준 ‘수학1232. 미지수가 3개인 연립일차방정식과 미지수가 2개인 연립이차방정식을 풀 수 있다.’에 대해 활용 문제를 이 성취기준을 대표하는 문항으로 볼 것인지에 대한 논의가 있었다. 2018년에 해당하는 문항 유형이 성취기준을 대표할 수 있는 문항 유형으로 보통학력 수준의 대표문항이고, 서답형 문항에서도 60% 이상의 정답률을 보인다는 점에서 보통학력 학생들까지 숙달할 수 있는 성취기준으로 판단하였다.

도형의 방정식 영역에서는 성취기준 ‘수학1322. 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.’에 따라 출제된 세 문항들이 각각 평행 조건 또는 수직 조건만을 묻고 있어 전문가협의회에서 ‘판단 불가’의 기준을 적용하였다. 하지만 성취기준 외의 내용이 일부 포함되어 있으나 성취기준의 숙달 여부는 판별할 수 있는 문항이라는 의견이 개진되었다. 세 문항이 각각 성취기준을 대표할 수 있는 문항은 아니지만 각각의 문항이 부분적으로 평행 조건과 수직 조건을 묻고 있고 우수학력의 대표문항인 점을 고려하여 이 성취기준의 경우 우수학력은 숙달할 수 있다고 판단하였다. 그리고 성취기준 ‘수학1332. 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 이해한다.’와 관련된 문항의 경우 문항의 난도가 지나치게 높은 경향이 있어 어느 성취수준이 달성할 수 있는지 판단할 수 없다는 의견이 있었다. 실제 이 성취기준에 따른 문항의 경우 우수학력 수준의 정답률도 60% 미만으로 매우 낮게 나타났다.

수열 영역에서는 성취기준 ‘수학2312. 등차수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제n항까지의 합을 구할 수 있다.’에 따라 출제된 문항들이 등차수열에 대한 문항과 등차수열의 합에 대한 문항이 섞여 있어 B-3/C-2로 세분화가 필요하다는 의견이다. 네 문항 중 세 문항이 등차수열의 의미를 알고 있는지를 묻고 있고 보통학력 수준의 대표문항으로 나타났지만, 성취기준을 종합적으로 묻고 있다고 볼 수 있는 등차수열의 일반항과 등차수열의 합을 구하는 문항의 경우에는 우수학력의 대표문항으로 나타났다. 따라서 이 성취기준을 숙달한 성취수준은 우수학력으로 판단했다. 그리고 성취기준 ‘수학2321. ∑의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다’와 관련된 문항의 경우 단지 선다형과 서답형과 같은 형식의 차이보다는 내용 측면의 난이도에서 차이가 있어, B-3으로 판단할 수 있다는 의견이 있었다. 문항에 대한 세부적인 검토 결과, 문항의 형식보다는 문항이 묻고 있는 내용에 따라서 정답률의 폭이 크다고 판단해 판단 기준을 B-4에서 B-3으로 수정하였다.

2015〜2018년 학업성취도 평가 결과를 바탕으로 2009 개정 고등학교 수학과 교육과정의 성취기준별 최소 숙달 집단을 분석한 결과는 <표 5>와 같다. 고등학교 수학과 교육과정의 성취기준 중 학업성취도 평가 범위에 해당하는 53개 성취기준 중 판단 불가로 나타난 성취기준은 1개, 우수학력도 숙달하지 못한 성취기준은 1개로 나타났다. 이 두 개의 성취기준에 대한 숙달 여부는 판단하지 않았다. 성취수준 집단별 숙달 여부를 살펴보면, 우수학력 학생들까지 숙달한 것으로 판단되는 성취기준은 37개, 보통학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 10개로 나타났다. 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 4개로 나타나 다른 성취수준 집단이 숙달한 성취기준에 비해 그 수가 상대적으로 적었으며, 방정식과 부등식, 도형의 방정식, 함수, 지수와 로그 영역에서는 기초학력 학생들까지 숙달한 성취기준은 없었다.

고등학교 수학과 교육과정의 성취기준에 대한 숙달 여부를 판정한 결과를 제시하면 <표 6>과 같다. 다항식 영역의 경우 다항식의 연산에 대한 학습 내용 중 덧셈과 뺄셈과 관련된 성취기준은 기초학력 학생들이 숙달하고, 나머지정리와 인수분해와 관련된 성취기준에 대해서는 보통학력 학생들이 숙달한 것으로 나타났다. 전반적으로 다항식 영역과 관련된 성취기준은 보통학력 이상의 학생들까지 숙달한 것으로 나타났으며, 기초학력의 학생들의 경우는 기본적인 다항식 연산 이외의 학습 내용에 대한 이해도 제고를 위한 교수·학습 방안 마련이 필요하다.

방정식과 부등식 영역의 경우 우수학력의 학생들은 모든 성취기준을 숙달한 것으로 나타났고, 보통학력 학생들은 복소수의 사칙계산, 근과 계수의 관계, 이차함수와 이차방정식의 관계, 절댓값을 포함한 일차부등식과 관련된 성취기준을 숙달한 것으로 나타났다. 그러나 보통학력 학생들은 이차함수와 직선의 위치관계, 이차함수의 최대와 최소, 여러 가지 방정식과 관련된 성취기준은 숙달하는 데 어려움이 있는 것으로 나타나 이에 대한 교수·학습 방안 개선이 필요하다. 또한 기초학력 학생들은 방정식과 부등식 영역에서 숙달한 성취기준이 없어 방정식과 부등식 영역의 학습 내용에 대한 맞춤형 기초학습 자료를 제공해 학습 능력을 제고할 필요가 있다.

도형의 방정식 영역의 경우 우수학력의 학생들은 ‘수학1332. 좌표평면에서 원과 직선의 위치관계를 이해한다.’의 성취기준을 제외하고 모든 성취기준을 숙달하는 것으로 나타났고, 보통학력 학생들은 도형의 평행이동과 관련된 성취기준은 숙달한 것으로 나타났다. 우수학력의 학생들은 원과 직선의 위치관계에 관련된 문항을 해결하는 데 어려움이 있는 것으로 나타나 이에 대한 원인 분석이 필요하다. 그리고 보통학력 학생들은 도형의 평행이동을 제외하고는 평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 부등식의 영역에 관련된 성취기준을 숙달하는 데 어려움이 있는 것으로 나타나 이에 대한 교수·학습 개선이 필요하다. 또한 기초학력 학생들은 도형의 방정식 영역에서 숙달한 성취기준이 없어 도형의 방정식 영역의 학습 내용에 대한 맞춤형 기초학습 자료를 제공해 학습 능력을 제고할 필요가 있다.

집합과 명제 영역의 경우 우수학력의 학생들은 모든 성취기준을 숙달한 것으로, 보통학력 학생들은 집합과 관련된 성취기준을 숙달한 것으로 나타났다. 그리고 기초학력 학생들은 집합과 관련된 성취기준 중 집합의 개념과 두 집합 사이의 포함관계에 관한 성취기준은 숙달하는 것으로 나타났다. 보통학력 이하의 학생들이 명제와 관련된 성취기준을 숙달하는 데 어려움이 있는 것으로 나타나 이에 대한 원인 분석이 필요하다.

함수 영역은 대부분의 성취기준이 우수학력 학생들만 숙달하여 보통학력 이하의 학생들이 함수에 관련된 내용을 배우는 데 어려움이 있는 것으로 나타났다. 구체적으로 보통학력 이하의 학생들은 함수의 뜻과 그래프, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수에 관련된 학습 내용에 대한 이해도가 낮은 것을 알 수 있다. 특히 함수와 관련된 학습 내용은 다른 영역의 학습에도 중요한 영향을 미치므로, 각 학교급에서 다루는 성취기준의 적절성과 위계와 관련한 분석을 통해 보통학력 이하의 학생들의 함수 영역에 대한 이해도를 제고할 필요가 있다.

수열 영역의 경우 우수학력의 학생들은 대부분의 성취기준을 숙달한 것으로 나타났고, 보통학력 이하의 학생들은 수열 영역의 학습 내용 중 ‘수학2311. 수열의 뜻을 안다.’의 성취기준만을 숙달한 것으로 나타났다. 보통학력의 학생들은 등차수열과 등비수열의 의미는 알고 있지만 수열의 일반항과 합을 구하는 문항을 해결하는 것에는 어려움이 있는 것으로 나타나 이에 대한 교수·학습 보완이 요구된다. 그리고 기초학력의 학생들은 등차수열과 등비수열의 기본적인 이해가 부족한 것으로 나타나 이에 대한 이해도를 제고할 수 있는 교수·학습 방안이 필요하다.

마지막으로 지수와 로그 영역의 경우 우수학력의 학생들은 모든 성취기준을 숙달하는 것으로, 보통학력 이하의 학생들은 지수와 로그와 관련된 학습 내용에 대한 이해도가 낮은 것으로 나타났다. 보통학력의 학생들은 성취기준 ‘수학2411. 거듭제곱과 거듭제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.’와 관련하여 간단한 거듭제곱근은 계산할 수 있지만 제곱근 성질을 포괄적으로 묻는 문항은 어려워하는 것으로 나타났다. 또한 지수가 유리수와 실수까지 확장될 수 있다는 것을 이해하고 간단한 지수법칙을 활용하는 문항은 해결할 수 있지만 다소 복잡한 문항의 경우에는 어려움이 있는 것으로 나타났다. 그리고 기초학력의 학생들은 지수와 로그 영역의 학습 내용에 대한 기본적인 이해도가 낮은 것으로 나타나 이에 대한 원인 분석이 필요하다.

<표 7>은 <표 6>의 내용 중 「수학Ⅰ」, 「수학Ⅱ」의 7개의 내용 영역에서 가장 기본이 되는 성취기준에 대한 숙달 여부를 정리한 것이다. 보통학력 수준의 경우 도형의 방정식, 함수, 지수와 로그 영역에서 기본이 되는 성취기준을 숙달하지 못하였고, 기초학력 수준은 방정식과 부등식 영역까지 성취기준을 숙달하지 못한 것으로 나타났다.

기본 성취기준에 대한 문항 분석 결과, 방정식과 부등식 영역에서 기초학력 수준은 i에 대한 의미는 알지만 복소수의 계산 과정에서 i²과 i³의 의미를 잘 이해하지 못하는 것으로 나타났다. 도형의 방정식 영역에서 보통학력 수준은 두 점이 주어져 있을 때 두 점 사이의 거리는 구할 수 있지만 ‘두 점 A(3,1), B(1, a)의 길이가 $4\sqrt{2}$일 때 a의 값을 구하는 문제의 경우는 다소 어려워하는 경향이 있다. 하지만 기초학력 수준은 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 이해하지 못하는 것으로 나타났다. 함수 영역에서 보통학력 이하 수준은 함수의 뜻과 관련된 정의역, 치역, 공역, 일대일대응 등의 의미를 정확하게 이해를 하지 못해 문제해결에 어려움이 있는 것으로 나타났다. 지수와 로그 영역에서 보통학력 수준은 단순한 거듭제곱근의 값을 구할 수는 있지만 거듭제곱근과 실수의 관계를 어려워하는 것으로 나타났고, 기초학력 수준은 제곱근의 뜻과 성질을 이해하지 못해 단순한 제곱근의 계산도 어려워하는 것으로 나타났다.