국가수준 학업성취도 평가를 통한 중학교 3학년의 수학과 교육과정 성취기준에 대한 이해도 분석¹⁾

중학교 수학과 교육과정의 수와 연산 영역에서는 수 체계를 실수 체계까지 확장하고 확장한 수 체계에서 사칙계산의 원리와 연산의 구조를 이해할 수 있는지를 중점적으로 다룬다. 학교수학은 수와 그 연산의 개념에 대한 학습으로부터 시작한다고 볼 수 있다(김남희 외, 2008). 내용 영역 간 상관에서 수와 연산 영역의 점수가 중학교 수학에서 가장 큰 비중을 차지하는 문자와 식, 함수 영역 점수와 상관이 가장 높은 것으로 나타난 것은 수와 연산 영역의 학습의 중요성을 보여준다.

2015 학업성취도 평가에서는 소인수분해, 정수와 유리수, 유리수와 순환소수, 제곱근과 실수, 근호를 포함한 식의 계산에서 총 5문항(선다형 4문항, 서답형 1문항)이 출제되었으며 정답률은 34.19∼66.57%로 나타났다. 수와 연산 영역의 선다형 문항에 대한 중영역별 정답률은 [그림 Ⅲ-1]과 같다. 선다형 문항의 배점은 모두 동일하지만, 서답형 문항은 문항별로 하위문항의 수와 배점이 다르기 때문에 서답형 문항의 정답률은 문항마다 [(모든 피험자의 문항 점수의 합)/{(전체 피험자의 수)×(문항 배점)}]×100으로 산출한다(이인호 외, 2016a, p. 21). 따라서 동일한 중영역 안에 선다형과 서답형 문항이 포함된 경우에는 평균 정답률을 산출할 수가 없었고 서답형에 대한 학생들의 응답 경향이 선다형과 차이가 있기 때문에, [그림 Ⅲ-1]의 중영역별 정답률은 선다형 문항에 대해서만 제시하였다. 이 부분은 이후 내용 영역에 대해서도 동일한 방식으로 제시할 것이다.

그림 Ⅲ-1. 수와 연산 영역의 중영역별 정답률

Download Original Figure

[그림 Ⅲ-1]에 나타난 바와 같이 수와 연산 영역의 중영역에 대한 선다형 문항의 정답률은 ‘정수와 유리수’에 대한 정답률이 가장 높고, 그 다음은 ‘소인수분해’, ‘근호를 포함한 식의 계산’, ‘제곱근과 실수’의 순으로 나타났다. 2009 개정 수학과 교육과정 이전에는 ‘정수’와 ‘유리수’를 중영역으로 분리하여 각각의 개념, 대소 관계, 사칙계산을 다루었지만, 2009 개정에서는 중영역을 ‘정수와 유리수’로 통합하는 변화가 있었는데(황선욱 외, 2011), 해당 중영역의 정답률이 높게 나타난 것으로 볼 때 이러한 변화가 무리 없이 안착했음을 알 수 있다.

교육과정 성취기준별로 평가 결과를 살펴보면, <표 Ⅲ-1>에서와 같이 중학교 1학년 과정보다 3학년 과정에서 다루는 성취기준에 대한 정답률이 낮고, 기초학력 수준 이하의 정답률도 낮게 나타났다. 특히 중학교 3학년 과정에서 다루는 ‘제곱근과 실수’에서 실수의 대소 관계에 대한 정답률이 45.10%로 선다형 문항 중 가장 낮은 정답률을 보였다. ‘근호를 포함한 식의 계산’에 대한 정답률도 53.17%로 낮았으며, 특히 기초학력 수준의 정답률이 16.47%, 기초학력 미달의 정답률이 6.19%로 매우 낮았다. 중학교 3학년에 무리수에 대한 개념이나 연산 능력이 부족하면 이후의 수학 학습이 원활하게 이루어지기 어려우므로 무리수에 대한 충실한 개념 학습 및 연산 연습이 요구된다. 한편 서답형 문항이 ‘유리수와 순환소수’에 대한 정답률(34.19%)이 수와 연산 영역 중 가장 낮았는데, 이때 정답률이 낮은 것도 문제이지만 보통학력 수준 학생들의 이해가 낮고 기초학력 수준 이하 학생들의 정답률이 4.24%, 0.20%로 매우 낮다는 점에도 주목할 필요가 있다. 서답형 1번의 학생 응답 반응에 대한 심층 분석은 Ⅳ장에서 상세히 다룰 예정이다.

문자와 식은 대수 학습의 기본이 되며, 수학적 의사소통, 추상화 단계에서 개념을 조작하고 적용하는 수단이나 일반화와 통찰을 용이하게 하는 방법을 제공하는 도구가 된다(김남희 외, 2008). 2009 개정 수학과 교육과정의 문자와 식 영역에서는 수학 개념과 실생활 활용을 통합하여 방정식, 부등식 단원의 도입 부분에서 실세계 상황에서의 문제 해결과 관련되는 내용을 제시하고, 학습 과정에서 실생활 활용 문제를 충분히 풀이할 것을 강조하였다. 그리고 학습자의 부담을 덜어주기 위해 연립방정식의 풀이 과정에서 나오는 좌변, 우변, 양변, 소거, 가감법, 대입법 용어를 삭제하여 방정식 관련 용어를 약화하고 일상적인 용어를 자연스럽게 사용하도록 하였다(황선욱 외, 2011).

문자와 식 영역에서는 문자의 사용과 식의 계산, 일차방정식, 식의 계산, 미지수가 2개인 연립일차방정식, 일차부등식과 연립일차부등식에서 총 9문항(선다형 8문항, 서답형 1문항)이 출제되었으며 정답률은 56.30∼87.99%로 나타났다. 문자와 식 영역의 선다형 문항에 대한 중영역별 정답률은 [그림 Ⅲ-2]와 같다.

그림 Ⅲ-2. 문자와 식 영역의 중영역별 정답률

Download Original Figure

[그림 Ⅲ-2]에 나타난 바와 같이 문자와 식 영역의 중영역에 대한 선다형 문항의 정답률은 ‘식의 계산’에 대한 정답률이 가장 높고, 그 다음은 ‘일차방정식’, ‘문자의 사용과 식의 계산’, ‘일차부등식과 연립일차부등식’의 순으로 나타났다. <표 Ⅲ-2>에서와 같이 전체 정답률을 보면 해당 내용을 다루는 학년과 무관하게 대부분 문항에서 유사한 정답률을 보였으나, ‘일차부등식과 연립부등식’ 중 부등식의 기본 성질을 이용한 일차부등식의 풀이에 대한 정답률은 59.36%로 나타나 대체로 낮은 이해를 보였다. 이 문항은 일차부등식을 만족하는 자연수의 개수를 구하는 것으로 기초학력 이하 수준의 학생의 정답률이 낮은 것이 전체 정답률이 낮아지는 요인이 된 것으로 보인다. 문자와 식 영역의 성취수준별 정답률을 살펴보면 기초학력 수준의 학생들도 식의 값 계산, 일차방정식의 풀이, 일차식과 이차식의 계산, 지수법칙에 대해 약 50% 내외의 정답률을 보였다. 그러나 기초학력 미달의 경우, 일차식의 계산, 부등식의 기본 성질에 대한 정답률이 매우 낮게 나타나 해당 성취기준에 대한 학습이 보완될 필요가 있다.

문자와 식 영역에서는 ‘미지수가 2개인 연립일차방정식’에서 서답형이 출제되었는데, 실생활 소재를 도입한 서답형 2번에 대한 전체 정답률은 56.30%로 서답형 문항 중에는 정답률이 가장 높았으나, 기초학력 수준 이하 학생들의 정답률은 기초학력 9.79%, 기초학력 미달은 0.37%로 매우 낮았다. 한편 서답형 2번의 하위문항 2-(2)번은 풀이과정과 답을 작성하는 서술형으로 출제되었는데 학생들의 응답 반응을 분석한 결과, 연립일차방정식의 풀이 과정에서 학생들은 대체로 소거, 가감법, 대입법 등의 방정식 관련 용어를 사용하지 않고 풀이과정을 작성했으며, 가감법을 사용한 풀이가 대입법을 사용한 풀이보다 약 16배 정도 많았다(이인호 외, 2016b, p. 36).

함수 개념은 물리적, 사회적, 수학적 세계에서 일어나는 변화 현상에서의 종속 관계를 설명하고 기술하고 조직하기 위해 도입되었다(우정호, 1999). 함수는 수학의 여러 영역을 통합하고 현실 세계의 상황을 이해하는데 매우 중요한 역할을 한다(김남희 외, 2008). 2009 개정 수학과 교육과정에서는 다양한 상황을 표, 식으로 표현하는 활동을 충분히 한 뒤에 이를 근거로 함수 개념을 정의하는 방식으로 도입하도록 하며, 중영역 ‘함수와 그래프’에서 함수 개념, 순서쌍과 좌표, 함수와 그래프, 함수의 활용을 다루도록 재편하였다. 그리고 함수와 방정식의 연계를 강화하기 위해 일차함수의 활용을 ‘일차함수와 그래프’로 옮기고, 나머지 부분을 ‘일차함수와 일차방정식’으로 변경하였다(황선욱 외, 2011).

함수 영역에서는 함수와 그래프, 일차함수와 그래프에서 총 6문항(선다형 5문항, 서답형 1문항)이 출제되었으며 정답률은 44.13∼54.14%였다. 함수 영역 중 ‘일차함수와 일차방정식의 관계’는 2015년 전수평가에 출제되지 않았으며, 시험 시행이 6월에 있는 관계로 이차함수도 평가범위에 포함되지 않았다.

함수 영역의 중영역에 대한 선다형 문항의 정답률은 1학년 과정의 ‘함수와 그래프’의 정답률이 50.99%로 2학년 과정의 ‘일차함수와 그래프’의 정답률인 47.22% 보다 다소 높은 정답률을 보였다. 한편 <표 Ⅲ-3>에서와 같이 함수 영역의 정답률은 다른 내용 영역과 비교하여 상대적으로 낮은 정답률을 보였다. 특히, ‘함수와 그래프’의 성취기준인 ‘다양한 상황을 표와 식으로 나타내고 함수의 개념을 이해한다.’는 2009 개정 수학과 교육과정부터 변화한 함수 도입 방식과 관련된 것으로 정답률이 47.84%로 낮았으며 우수학력의 정답률도 60.76%로 매우 낮아서 해당 성취기준에 대한 교과서 도입 방식, 관련한 교수 학습에 대한 검토 및 보완이 요구된다. 한편 기초학력 수준 이하의 학생들은 함수의 활용 문제에서 특히 낮은 정답률을 보였다. 기초학력 수준 이하 학생들의 학력을 높이기 위해서는 문장제 문제에 대한 연습 기회와 독서 경험을 늘릴 수 있도록 지원할 필요가 있다.

2009 개정 수학과 교육과정에서 확률과 통계 영역의 가장 큰 변화는 학습량 감축을 위해 ‘누적도수의 분포’를 삭제하고, ‘줄기와 잎 그림’을 중영역 ‘도수분포와 그래프’에 추가한 것이다(황선욱 외, 2011). 확률과 통계 영역은 도수분포와 그래프, 확률과 그 기본 성질에서 총 4문항(선다형 4문항)이 출제되었으며 정답률은 41.72∼69.36%로 나타났다. 시행 시기와 관련하여 중학교 3학년 과정의 통계 부분은 평가 범위에 포함되지 않았다.

확률과 통계 영역의 중영역에 대한 선다형 문항의 정답률은 ‘확률과 그 기본성질’의 정답률이 68.50%로 ‘도수분포와 그래프’의 정답률인 44.39%보다 높았다. <표 Ⅲ-4>에서와 같이 전체 정답률을 보면, 확률과 통계 영역에서 ‘도수분포와 그래프’의 정답률이 40%대로 낮았으며, 이 중영역에 해당하는 두 개의 성취기준에 대한 보통학력 이하의 정답률이 다른 문항과 비교하여 매우 낮았다. 반면 ‘확률과 그 기본 성질’의 성취기준에서는 성취수준별로 고른 정답률을 보였다. 중학교 1학년의 ‘통계’ 영역에서의 학습 결손은 중학교 3학년에 배우는 통계 즉, ‘대푯값과 산포도’에 대한 학습 결손으로 이어질 수 있으므로, 통계 소양의 중요성이 부각되고 있는 시점에서 확률과 통계 영역에 대한 개념 학습 및 통계 자료를 정리하고 해석하는 교수 학습이 보완되어야 할 것으로 보인다.

기하 영역은 중학교 교육과정에서 성취기준의 수가 가장 많고 비중이 큰 영역이다. 기하 영역은 수학적 사고의 근원이 되는 추론 능력을 개발하는 데 가장 적합한 영역이기도 하다. 관련하여 학교수학에서 ‘증명’은 연역적 추론과 관련하여 중요하게 다루어져왔는데, 2009 개정 수학과 교육과정의 기하 영역에서는 학생들이 도형을 탐구하여 기하학적 성질을 이해하고 기하 지식을 습득하는 것을 목표로 하되, 학생의 이해 수준을 고려하여 증명보다는 학생 수준에 합당한 추측이나 정당화(justification) 수준의 교육을 지향한다(황선욱 외, 2011).

기하 영역에서는 기본 도형, 작도와 합동, 평면도형의 성질, 입체도형의 성질, 도형의 닮음, 닮음의 활용에서 총 9문항(선다형 8문항, 서답형 1문항)이 출제되었으며, 정답률은 26.08∼79.08%로 나타났다. 2015년 전수평가에는 ‘삼각형과 사각형의 성질’에 해당하는 문항이 출제되지 않았으며, 시행 시기와 관련하여 중학교 3학년 과정의 기하 부분은 평가 범위에 포함되지 않았다. 기하 영역의 선다형 문항에 대한 중영역별 정답률은 [그림 Ⅲ-3]과 같다.

그림 Ⅲ-3. 기하 영역의 중영역별 정답률

Download Original Figure

[그림 Ⅲ-3]과 같이 기하 영역의 중영역에 대한 선다형 문항의 정답률은 ‘작도와 합동’이 가장 높고, 그 다음은 ‘도형의 닮음’, ‘평면도형의 성질’, ‘기본도형’, ‘입체도형의 성질’, ‘닮음의 활용’의 순이었다. ‘닮음의 활용’에서는 성취기준인 ‘닮은 도형의 성질을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.’에 대한 선다형 문항(29번)이 출제되었는데([그림 Ⅲ-4] 참조), 해당 성취기준에 대한 정답률은 26.08%로 2015년 출제된 33문항 중 가장 낮은 정답률을 보였다. <표 Ⅲ-5>에서와 같이 해당 성취기준에 대한 우수학력 학생의 정답률도 50%대로 매우 낮았기 때문에 닮은 도형의 부피의 비에 대한 학생의 이해를 높일 수 있는 교수 학습 방법이 보완될 필요가 있다. 이밖에도 ‘평면도형의 성질’, ‘입체도형의 성질’의 성취기준에 대한 정답률이 낮았는데, 다각형, 다면체, 회전체 등 다양한 도형을 다루는 충분한 학습 경험을 통해 학생들의 이해가 지속될 수 있도록 하는 교수 학습이 요구된다.

그림 Ⅲ-4. 2015년 중학교 수학과 선다형 29번 문항 : 가장 낮은 정답률

Download Original Figure

서답형 1-(1)번의 응답은 <표 Ⅳ-1>과 같이 크게 8개의 유형으로 분류되었는데, 우선 만점인 유형 1과 부분점수에 해당하는 유형 2에 대해 살펴보면 다음과 같다. 먼저 유형 1은 순환소수 $0.2\dot{4}$ 를 기약분수 $\frac{11}{45}$로 옳게 나타낸 경우로, 전체의 36.60%의 답안이 해당되었다. 성취수준별로 살펴보면 우수학력의 91.15%가 옳게 답했지만 보통학력의 38.67%, 기초학력은 3.71%, 기초학력 미달은 0.34%로 보통학력 이하에서 매우 낮은 정답률을 보였다. 유형 2는 순환소수 $0.2\dot{4}$ 를 분수 $\frac{22}{90}$로 나타냈으나 문항에서 요구한 기약분수 조건을 만족하지 못한 경우로, 2.70%의 답안이 해당된다. 성취수준별로는 보통학력의 3.84%, 우수학력의 1.89%, 기초학력의 1.74%가 문제의 ‘기약분수로 나타내시오’라는 조건을 파악하지 못한 것으로 나타났다. 이 유형은 기약분수의 개념을 기억하지 못한 경우, 용어가 생소한 경우, 문제를 신중히 읽지 못해서 조건을 놓친 경우 등으로 그 원인을 찾을 수 있다. 유형 2가 적은 비율로 나타나기는 했지만 해당 성취기준에 대한 교수학습 과정 중에 기약분수라는 용어를 사용하고 문제를 풀이한 뒤에 요구하는 답이 맞는지 확인하는 반성 과정을 강조할 필요가 있을 것이다.

다음은 오답에 해당하는 유형을 비율이 높은 순으로 유형 3∼6으로 나타내고 분석한 결과이다. 유형 3은 순환소수 $0.2\dot{4}$ 를 분수로 나타내는 과정에서 분모는 바르게 나타냈지만 분자는 순환마디를 고려하지 않고 24로 나타낸 경우로 $\frac{4}{15}$, $\frac{8}{30}$ 등으로 나타내는 오류를 보였으며 전체의 11.99%에 해당한다. 유형 3은 오답 중 비율이 가장 높아 학생들이 가장 많이 범하는 오류 유형으로 볼 수 있다. 성취수준별로는 보통학력의 17.8%, 기초학력의 9.84%, 우수학력의 2.83%가 유형 3에 해당했다. 유형 4는 순환소수 $0.2\dot{4}$ 가 아닌 0.24를 분수꼴로 나타낸 경우로, 9.87%의 답안이 해당한다. 이 유형의 오류를 보인 학생들은 순환소수에 대한 이해가 전혀 없이 $\frac{6}{25}$, $\frac{24}{100}$ 등으로 답한 것으로, 기초학력 수준의 23.95%, 기초학력미달의 20.41%가 이 유형에 속했다. 유형 4는 특정 오답을 보인 유형 중 기초학력 수준 이하에서 가장 높은 비율을 보인 오답 유형으로, 기초학력 수준 이하 학생들의 유리수와 무리수에 대한 개념 정립을 위해 중학교 3학년에 무리수를 도입하는 과정에서 순환소수의 개념을 다시 설명하고 보정 학습을 실시하여 이해를 높여야 할 것으로 보인다. 유형 5는 순환소수 $0.2\dot{4}$ 를 분수로 나타내는 과정에서 분모를 99, 분자를 24로 나타낸 경우로, 5.34%의 답안이 해당한다. 유형 6은 분자는 바르게 나타냈지만 분모는 순환마디를 고려하지 않고 9로 나타낸 경우로, 3.07%의 답안이 해당한다. 순환소수를 분수로 고치는 과정에서 오류를 보인 유형 3, 5, 6은 전체 응답의 $\frac{1}{5}$에 해당하는데, 이는 순환소수를 분수로 나타내는 과정에 대한 관계적 이해가 없이 과정을 공식화하여 기억하는 과정에서 나타난 오류들이다. 한편 유형화가 어려운 응답(유형 7)은 전체의 18.23%, 무응답(유형 8)은 12.20%로 나타났다. 이때 기초학력 학생들의 무응답 비율은 24.36%, 기초학력미달은 57.82%로 그 비율이 매우 높았다.

한편 서답형 1-(1)번에 대한 성취도 점수에 따른 응답 유형 분포는 [그림 Ⅳ-3]과 같다. 그래프를 통해 서답형 1-(1)번에서 보통학력과 기초학력 수준의 학생들은 다양한 오답 유형을 보였으며, 우수학력 수준은 대다수가 정답을 맞혔으나 우수학력 하 수준에서는 유형 2, 유형 3 등의 오답이 나타남을 알 수 있다.

그림 Ⅳ-3. 2015년 중학교 수학과 서답형 1-(1)번의 유형별 응답 비율(이인호 외, 2016b, p. 25)

Download Original Figure

서답형 1-(2)번의 응답은 <표 Ⅳ-2>와 같이 크게 6개의 유형으로 분류되었는데, 우선 정답인 유형 1은 유한소수가 되기 위해 기약분수의 분모의 소인수가 2나 5뿐임을 알고 정답인 9를 답한 경우로, 전체의 29.99%가 해당된다. 성취수준별로 살펴보면 우수학력의 78.81%, 보통학력의 29.41%, 기초학력은 4.17%이 유형 1에 해당했으며, 기초학력 미달은 정답률이 0%로 나타났다.

다음은 오답에 해당하는 유형을 비율이 높은 순으로 유형 2∼4로 나타내고 분석한 결과이다. 유형 2는 3을 답으로 제시한 경우로, 전체의 9.38%가 이 유형에 해당된다. 유형 2의 오답의 원인은 다양할 수 있으나 그 중 하나는 서답형 1-(1)번의 오답과 연계된 결과로 짐작해볼 수 있다. 예를 들어 서답형 1-(1)번에서 유형 3에 해당하는 $\frac{8}{30}$을 쓴 경우에는 1-(2)번의 풀이와 관련하여 옳은 절차를 적용했다 하더라도 3을 답으로 구했을 수 있다. 유형 3은 기약분수의 분모 전체를 곱하는 45를 답으로 제시한 경우로 전체의 7.59%가 해당된다. 이 유형은 문제에서 ‘곱하여 유한소수가 되게 하는’을 ‘곱하여 정수가 되게 하는’으로 잘못 인식하여 분모인 45를 답으로 쓴 경우이다. 유형 4는 기약분수의 분모의 소인수가 2나 5뿐이어야 함을 반대로 이해하여 5를 약분할 수 있는 수를 구한 경우로, 전체의 5.64%가 해당된다. 이 밖에 유형화가 어려운 응답(유형 5)은 29.29%이며, 무응답(유형 6)은 18.12%였다. 이때 기초학력 학생들의 무응답 비율은 35.99%, 기초학력미달은 64.63%로 그 비율이 매우 높았다.

한편 서답형 1-(2)번에 대한 성취도 점수에 따른 응답 유형 분포는 [그림 Ⅳ-4]와 같다. 그래프를 통해 서답형 1-(2)번은 우수학력 수준의 경우에도 정답률이 높지 않고 유형 3, 유형 4 등의 오답 유형이 다양하게 나타났음을 알 수 있다. 보통학력 수준은 정답률이 낮고 다양한 오답 유형이 나타나 학생들의 유리수와 순환소수에 대한 이해도가 낮음을 알 수 있다. 기초학력 이하는 정답률이 매우 낮아서 적절한 보정 학습이 요구되며, 무응답의 비율이 높은 것도 주목할 필요가 있을 것이다.

그림 Ⅳ-4. 2015년 중학교 수학과 서답형 1-(2)번의 유형별 응답 비율(이인호 외, 2016b, p. 28)

Download Original Figure