2016년 국가수준 학업성취도 평가 결과에서 나타난 고등학생의 수학 학업 특성 분석¹⁾

2016년 학업성취도 평가는 6월 21일(화)에 시행되었고, 고등학교의 경우 2학년을 대상으로 국어, 수학, 영어 교과에 대해 각각 60분 동안 평가가 진행되었다. 본 연구에서는 수학 교과에 응시한 고등학교 2학년 439,686명의 평가 자료를 활용하였다.

학업성취도 평가에서 수학과는 내용 영역과 행동 영역의 2차원으로 이루어진 평가틀을 지속적으로 사용해왔다. 2009 개정 교육과정이 학업성취도 평가에 적용되기 시작한 2015년부터 고등학교 수학과는 7개의 내용 영역, 4개의 행동 영역으로 이루어진 평가틀을 사용하고 있다. 내용 영역은 ‘다항식’, ‘방정식과 부등식’, ‘도형의 방정식’, ‘집합과 명제’, ‘함수’, ‘수열’, ‘지수와 로그’로 구성되며, 행동 영역은 ‘계산’, ‘이해’, ‘추론’, ‘문제해결’을 구성 요소로 한다.

2016년 3월에 평가 대상 학교의 교육과정 이수 현황을 조사하여, 응답한 1,843개교의 내용을 분석하여 시험 범위를 결정하였다(이인호 외, 2016b, pp. 65-66). 고등학교 수학과는 대부분의 학교에서 1학년 과정에 개설하는 2009 개정 수학과 교육과정의 과목 <수학Ⅰ>과 <수학Ⅱ>의 내용을 시험 범위로 하였다. 2016년에는 선다형 29문항, 서답형 4문항으로 총 33문항이 출제되었으며, 서답형의 각 문항은 2개의 하위문항으로 구성되어 하위문항을 기준으로 전체 문항은 총 37개이다.⁴⁾ 평가틀의 하위 영역별로 문항 수를 정리하면 <표 Ⅱ-1>과 같다.

학업성취도 평가에서는 학업성취도의 변화 추이를 분석하기 위해 원점수를 척도점수로 변환한 점수체제를 사용하며, 2016년 학업성취도 평가의 점수는 평균 200점, 표준편차 30점, 범위 50～350점으로 척도화한 점수이다(박인용 외, 2017, pp.11- 12). 그리고 학생들의 학업 성취 정도를 ‘우수학력’, ‘보통학력’, ‘기초학력’, ‘기초학력 미달’의 4단계의 성취수준으로 구분하고 있다.⁵⁾ 우수학력은 평가 대상 학년급 학생들이 성취하기를 기대하는 기본 내용을 대부분(80%이상) 이해한 수준, 보통학력은 상당부분(50%이상 80%미만) 이해한 수준, 기초학력은 부분적으로(20%이상 50%미만) 이해한 수준을 의미한다(박인용 외, 2017, p. 11). 또한 학업성취도 평가에서는 각 성취수준에 해당하는 학생들의 교과별 학업 특성을 보다 구체적으로 살펴보기 위해 ‘대표문항’이라는 개념을 활용하고 있다. 수학 교과에서 어떤 성취수준의 대표문항은 그 성취수준에 해당하는 학생의 정답률이 70% 이상, 그 아래 수준에 해당하는 학생의 정답률이 70% 미만인 문항을 의미한다(조영미, 이대현, 이봉주, 2004). 즉, 어떤 수준의 대표문항이라고 하면 그 수준에 해당하는 학생들의 대부분이 문항을 통해 측정하고자 한 성취기준에 도달했다고 보는 것이다.

본 연구에서는 학업성취도 점수, 성취수준별 비율, 내용 영역별 정답률, 성취수준별 대표문항을 중심으로 고등학교 수학과의 전반적인 평가 결과를 분석하였다. 다음으로 내용 영역별로 2007 개정 교육과정에서 2009 개정 교육과정으로 바뀌면서 변화된 내용을 살펴보고, 문항의 정답률, 변별도, 성취수준별 정답률을 분석하여 교육과정의 학습내용 성취기준 순으로 제시하였다. 정답률이 높거나 낮은 경우, 특정 학력 수준에서 정답률이 낮은 경우, 학력 수준 간 정답률 차이가 큰 경우 등을 중심으로 분석 결과를 제시하였다. 서답형 문항의 경우 전체 학생(439,686명) 중 일부 학생(7,179명)의 답안을 표집하여 학생들이 직접 작성한 답안의 유형을 분류하고 학업성취도 점수에 따른 답안 유형별 비율 분포 그래프를 도출하여 분석하였다. 다만 풀이 과정을 쓰는 서술형 문항인 서답형 2-(2)번의 경우 1,469명의 답안을 심층 분석의 대상으로 삼았다. 서답형 문항의 심층 분석 결과는 지면의 제약으로 다양한 답안 유형이 나타난 문항을 중심으로 상세한 분석 결과를 제시하였다.

2016년 학업성취도 평가의 주요 결과를 살펴보면, 고등학교 2학년의 수학 평균은 196.76점, 표준편차 43.13점이었다. 성취수준에 따른 학생 수를 살펴보면, 우수학력 학생은 134,391명(30.57%), 보통학력 학생은 209,439명(47.63%), 기초학력 학생은 72,767명(16.55%), 기초학력 미달 학생은 23,089명(5.25%)이었다. 보통학력 수준에 해당하는 학생의 비율이 약 50%로 가장 높았고, 다음으로 우수학력, 기초학력, 기초학력 미달의 순이었다.

2016년 학업성취도 평가에서는 내용 영역의 성취기준 수를 고려하여 앞서 제시한 <표 Ⅱ-1>과 같이 내용 영역별로 3～8문항이 출제되었다. 2016년의 문항을 내용 영역별로 전체 정답률과 성취수준별 정답률을 정리하면 <표 Ⅲ-2>와 같다. 다항식 영역의 정답률이 73.59%로 가장 높았고, 집합과 명제, 수열, 방정식과 부등식, 지수와 로그, 도형의 방정식, 함수 영역의 순으로 정답률이 높았다. 성취수준별 정답률을 살펴보면, 우수학력, 보통학력, 기초학력 수준에서 모두 다항식 영역의 정답률이 가장 높았다. 우수학력, 보통학력, 기초학력 미달 수준에서는 함수 영역의 정답률이 가장 낮았고, 기초학력 수준에서는 도형의 방정식과 함수 영역의 정답률이 낮았다.

우수학력 학생들은 함수 영역을 제외한 내용 영역에서 80% 이상의 정답률을 보였으나, 함수 영역의 정답률은 68.96%로 다른 내용 영역에 비해 상대적으로 낮았다. 이는 함수 영역에서 우수학력 학생들이 낮은 성취를 보인 이유를 구체적으로 살펴볼 필요가 있음을 시사한다. 보통학력 학생들은 도형의 방정식(31.00%)과 함수(30.05%) 영역에서 특히 낮은 정답률을 보였다. 보통학력 수준을 고등학교 2학년 학생들이 성취하기를 기대하는 지식과 기능을 상당 부분(50%이상 80%미만) 이해하고 수행할 수 있는 수준으로 상정한 것을 고려하면, 보통학력 학생들은 두 영역에서 출제된 문항들과 관련된 지식 및 기능에서 낮은 성취를 보인 것으로 해석할 수 있다. 특히, 도형의 방정식 영역에서 우수학력 학생들과 정답률 차이가 약 50%p에 이르러 보통학력 학생과 우수학력 학생 간 격차가 큰 것을 알 수 있다.

2016년 학업성취도 평가 결과에서 나타난 대표문항을 정리하면 <표 Ⅲ-3>과 같다. 성취수준별 대표문항의 수는 우수학력 22문항, 보통학력 8문항, 기초학력 2문항이었다. 우수학력의 학생들이 70% 미만의 정답률을 보여 어느 수준의 대표문항도 아닌 문항이 5문항이었다. 우수학력의 대표문항은 모든 내용 영역에 고르게 분포되었으나, 보통학력 대표문항은 ‘방정식과 부등식’, ‘집합과 명제’, ‘수열’ 영역에서 나타났고, 기초학력 대표문항은 ‘다항식’, ‘집합과 명제’ 영역에서만 나타났다. ‘도형의 방정식’, ‘함수’, ‘지수와 로그’ 영역에서는 보통학력과 기초학력 수준의 학생들이 70% 이상의 정답률을 보인 문항이 하나도 없었다. ‘함수’와 ‘지수와 로그’ 영역의 경우 성취기준 수가 적으므로 출제되는 문항 수도 적기 때문에 대표문항이 수준별로 고르게 분포되기 어려운 점이 있다. 그러나 ‘도형의 방정식’ 영역은 보통학력 학생들의 평균 정답률(31.00%)이 낮을 뿐 아니라 8문항이 출제되었음에도 보통학력 학생들의 대부분이 해결한 문항이 없었다는 점은 이 영역에서 보통학력 학생들의 학력을 향상시키기 위한 노력이 필요함을 보여준다.

2009 개정 수학과 교육과정의 다항식 영역에는 ‘다항식의 연산’, ‘나머지 정리’, ‘인수분해’가 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 50-52). 2007 개정 교육과정과 비교하면 다항식의 약수와 배수에 대한 내용이 삭제되었고 유리식과 무리식도 함수 영역으로 이동되면서 무리함수와 유리함수를 이해하는 데 필요한 최소한의 내용만 다루는 것으로 축소되어 학습량 감축이 많이 이루어졌다(신이섭 외, 2011, pp. 67-69).⁶⁾

2016년 학업성취도 평가에서 출제된 다항식 영역의 문항은 선다형 3개이고, 교육과정의 학습내용 성취기준 순으로 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-1>과 같다.⁷⁾ 정답률은 64.28%～89.56%로 전반적으로 높았고, 변별도는 0.36～0.66으로 모든 문항에서 양호하였다. 다항식 영역에서 기초학력 대표문항이 1개, 우수학력 대표문항은 2개였다.

성취기준 ‘다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.’에 해당하는 문항(2번)은 전체 정답률이 약 90%에 이르렀고 기초학력 학생들도 70% 이상의 높은 정답률을 보였다. 대부분의 학생들이 주어진 다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있으나, 기초학력 미달에 해당하는 학생들의 경우 다항식의 사칙계산을 능숙하게 수행할 수 있도록 추가적인 지도가 필요하다. 성취기준 ‘나머지정리의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.’, ‘다항식의 인수분해를 할 수 있다.’을 평가하기 위한 문항 11번⁸⁾, 17번⁹⁾의 결과를 살펴보면, 보통학력 학생들의 정답률이 60%대로 낮아지고 기초학력 학생들도 각각 13.53%, 31.55%로 정답률이 급격하게 낮아지는 것을 알 수 있다. 특히, 나머지정리는 인수분해, 방정식 문제 등을 해결하는 데 기초가 되는 내용인데 11번 문항의 경우 보통학력과 기초학력의 정답률 차이가 약 52%p로 선다형 문항 중 두 번째로 크게 나타났다. 나머지정리를 이해함에 있어서 보통학력과 기초학력 간 차가 크다는 것을 확인할 수 있고, 이는 기초학력 학생들에게 교수·학습 보완이 필요함을 시사한다.

2009 개정 교육과정에서 다항식 영역은 내용이 전반적으로 축소되어 다른 내용을 배우는 데 기초가 되는 필수적인 성취기준으로 구성되어 있다. 이 영역은 내용 영역 중 정답률이 가장 높았고(73.59%) 성취기준을 평가하는 각 문항의 정답률도 전반적으로 높은 편이다. 그러나 기초학력 미달에 해당하는 학생들에게는 다항식의 사칙계산, 기초학력 학생들에게는 나머지정리와 인수분해에 대한 이해를 높이는 노력을 기울일 필요가 있다.

2009 개정 수학과 교육과정의 방정식과 부등식 영역에서 가장 큰 변화는 ‘복소수와 이차방정식을 연계’한 것과 ‘이차방정식, 이차부등식, 이차함수의 통합 및 연계성을 강화’한 것이다(신이섭 외, 2011, pp. 67-70). 별도의 영역에서 다루던 ‘복소수’와 ‘이차방정식’을 복소수에 대한 학생들의 이해를 높이고 불필요한 계산을 줄이고자 ‘복소수와 이차방정식’으로 통합되었다. 또한 ‘이차방정식 및 이차부등식’과 별도의 영역에서 다루던 ‘이차함수의 활용’을 통합하여 이차방정식의 이론과 이차함수의 성질이 연계되도록 개정하였다(신이섭 외, 2011, pp. 69-70). 이에 방정식과 부등식 영역에는 ‘복소수와 이차방정식’, ‘이차방정식과 이차함수’, ‘여러 가지 방정식’, ‘여러 가지 부등식’이 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 50-52).

2016년 학업성취도 평가의 방정식과 부등식 영역에서는 선다형 6개, 서답형 2개의 총 8문항이 출제되었으며 평가 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-2>와 같다. 정답률은 31.75%～73.14%이고, 변별도는 0.52～0.71로 모든 문항에서 높게 나타났다. 방정식과 부등식 영역에서 보통학력 대표문항이 3개, 우수학력 대표문항은 5개였고, 우수학력 학생들의 정답률이 70% 미만인 어려운 문항은 없었다.

내용 요소별로 결과를 살펴보면, 우선 ‘복소수와 이차방정식’에서는 우수학력 학생들은 매우 높은 정답률을 보였고, 보통학력 학생들도 65% 이상의 정답률을 보여 대체로 해당 내용을 잘 이해하고 있는 것으로 나타났다. 이는 복소수와 이차방정식을 연계한 것이 보통학력 수준 이상의 학생들에게는 무리 없이 안착되고 있음을 시사한다. 그러나 복소수의 사칙계산과 관련된 8번 문항의 경우 보통학력과 기초학력의 정답률 차이가 약 58%p로 선다형 문항 중 가장 크게 나타났는데, 이는 기초학력 학생들은 고등학교 과정에서 새롭게 학습한 복소수의 사칙계산에 숙달되지 못했음을 의미한다. ‘복소수의 연산에 대한 성질을 부각시켜 불필요하고 복잡한 계산에 치우치지 않도록’ 복소수와 관련된 내용을 약화시킨 교육과정 개정의 의도(신이섭 외, 2011, p. 67)를 제대로 실현하기 위해서는 기초학력 수준 이하의 학생들이 복소수에 대한 성질을 충분히 이해하고 이를 바탕으로 사칙계산을 능숙하게 수행할 수 있도록 지도가 이루어져야 한다.

‘이차방정식과 이차함수’에서는 2개의 서답형 문항이 출제되었다. 서답형 문항은 선다형 문항에 비해 무응답의 비율이 높고 정답률이 전반적으로 낮은 점을 고려하면, 우수학력 학생들의 높은 정답률(81.97%～95.53%)은 이 수준의 학생들은 해당 내용을 잘 이해하고 있음을 시사한다. 이와 대조적으로 보통학력 학생들의 낮은 정답률(12.85%～38.42%)은 이차방정식과 이차함수의 연계성을 보다 강화했음에도 불구하고 이 내용을 이해하는 데 보통학력의 학생들은 어려움을 겪고 있음을 보여준다. 특히, 이차함수의 최대, 최소와 관련된 서답형 3-(2)번은 우수학력과 보통학력의 정답률 차이가 약 69%p로 전체 문항에서 가장 크게 나타났다.

‘여러 가지 방정식’에서는 우수학력 학생들의 정답률은 90.98%로 매우 높았으나 보통학력 학생들의 정답률은 55.73%에 그쳤다. 삼차방정식과 사차방정식을 풀기 위해서는 인수분해를 할 수 있어야한다. 다항식의 인수분해와 관련된 문항(17번)에서 보통학력 학생들의 정답률이 66.89%였던 것을 고려하면, 보통학력 수준 이하의 학생들이 인수분해를 보다 능숙하게 할 수 있도록 지도함으로써 삼차방정식 및 사차방정식에 대한 이해도를 높일 수 있을 것이다. 또한 인수분해와 여러 가지 방정식이 보다 연계되어 지도될 수 있는 방안을 모색할 필요도 있다.

‘여러 가지 부등식’에서는 절댓값을 포함한 일차부등식을 푸는 4번 문항의 정답률이 73.14%로 방정식과 부등식 영역에서 가장 높았다. 대부분의 학생들이 절댓값을 포함한 일차부등식을 잘 이해하고 있음을 보여준다. 연립이차부등식을 푸는 25번 문항의 정답률은 38.01%로 서답형 3-(2)번을 제외하면 이 영역에서 가장 낮았다. 2007 개정 교육과정에서는 이차부등식의 풀이 방법을 먼저 가르치고 함수 영역에서 이차함수 그래프와의 관계를 지도하였으나, 2009 개정 교육과정에서는 이를 통합하여 이차함수의 그래프를 활용하여 이차부등식을 풀이를 지도하도록 바뀌었다. 이차방정식, 이차부등식, 이차함수의 연계성을 강화하기 위한 이러한 변화에도 불구하고 ‘이차함수와 이차방정식의 관계’뿐 아니라 ‘이차함수와 이차부등식의 관계’도 방정식과 부등식 영역의 다른 성취기준에 비해 학생들이 어려워하는 내용임을 알 수 있다.

2009 개정 수학과 교육과정의 도형의 방정식 영역에는 ‘평면좌표’, ‘직선의 방정식’, ‘원의 방정식’, ‘도형의 이동’, ‘부등식의 영역’이 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 50-52). 일부 용어(내분점, 외분점, 원의 방정식)가 삭제되었으나, 교과용 도서나 수업 등에서 다루어질 수 있도록 허용하였다(신이섭 외, 2011, pp. 313-314).

2016년 학업성취도 평가의 도형의 방정식 영역에서는 선다형 6개, 서답형 2개의 총 8문항이 출제되었으며 평가 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-3>과 같다. 정답률은 11.35%～61.14%로 정답률이 낮은 문항이 많았고, 변별도는 0.46～0.69로 모든 문항에서 높았다. 6개의 선다형 문항은 모두 우수학력 대표문항이지만, 2개의 서답형 문항은 우수학력 학생들의 정답률이 70%에 이르지 못해 대표문항이 되지 못하였다. 앞서 기술한 바와 같이 도형의 방정식 영역에서 보통학력, 기초학력 수준의 대표문항은 없었다.

내용 요소별로 결과를 살펴보면, ‘평면좌표’에서 내분점과 외분점을 구하는 9번 문항의 정답률이 61.14%로 도형의 방정식 영역에서 가장 높았다. 이는 도형의 방정식 영역의 다른 내용과 비교하여 학생들이 내분과 외분을 잘 이해하고 있음을 의미한다. 두 점 사이의 거리를 구하는 27번 문항의 경우 문제를 해결하기 위해 원과 직선의 교점을 찾아야 하므로 전체 정답률(39.05%)이 낮게 나타났을 것이다. 그러나 우수학력의 정답률은 약 78%로 높았고, 보통학력의 정답률은 약 25%로 낮았으며 우수학력과의 정답률 차이가 약 53%p로 크게 나타났다.

‘직선의 방정식’의 평가 결과를 살펴보면, 우수학력 학생들의 정답률은 95% 이상으로 매우 높았는데 이는 직선의 방정식을 중학교에서부터 다루었기 때문으로 판단된다. ‘원의 방정식’에서는 원과 직선의 위치 관계와 관련된 선다형 22번의 정답률이 35.53%로 전체 29개의 선다형 문항 중 가장 낮았고([그림 IV-1] 참고), 서답형 4-(2)번은 11.35%로 전체 8개의 서답형 문항 중 가장 낮았다. 이는 원과 직선의 위치 관계에 대한 학생들의 이해가 부족함을 의미한다.

그림 Ⅳ-1. 2016년 고등학교 수학과 선다형 22번 문항

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‘도형의 이동’에서는 대칭이동한 점의 좌표와 직선의 방정식을 구하는 서답형 문항이 [그림 Ⅳ-2]와 같이 출제되었고, 전체 정답률은 27.50%로 낮았다. 7,179명의 학생 답안 유형을 분류한 결과는 <표 Ⅳ-4>와 같다. 부분 점수를 받은 답안(유형2, 유형3)과 오답에 해당하는 답안(유형4)을 분석한 결과, 학생들이 ‘원점’, ‘x 축’, ‘y 축’, ‘직선 y = x ’에 대한 대칭이동을 혼동하여 답안을 작성한 경우가 많음을 알 수 있었다. 또한 유형2에 속하는 학생들의 약 28%는 주어진 직선의 방정식도 원점에 대하여 대칭이동하였고, 유형3에 속하는 학생들의 약 76%는 주어진 점을 원점에 대하여 대칭이동한 후, 다시 y = x 에 대하여 대칭이동하였다. 이 학생들은 문제를 주의 깊게 읽지 않았을 가능성이 크다. 그러므로 학생들이 대칭이동에 대한 의미를 명확하게 이해할 수 있도록 지도할 필요가 있고, 또한 주어진 문제에서 구하고자 하는 내용을 정확하게 파악하는 습관을 길러주는 지도도 요구된다.

그림 Ⅳ-2. 2016년 고등학교 수학과 서답형 4-(1)번 문항

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표 IV-4. 2016년 고등학교 수학과 서답형 4-(1)번의 답안 유형

유형	내용	빈도	비율(%)	답안 유형별 비율 분포
유형1	B(3, 4), m : x+2y+10=0을 모두 옳게 쓴 경우	1,029	14.33
유형2	B(3, 4)만 옳게 쓴 경우	1,634	22.76
유형3	m : x+2y+10=0만 옳게 쓴 경우	305	4.25
유형4	그 외의 경우	1,369	19.07
유형5	무응답	2,842	39.59

출처: 임해미 외(2017, pp. 266, 268)

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2009 개정 수학과 교육과정의 집합과 명제 영역에는 ‘집합’의 개념과 연산법칙, ‘명제’의 개념과 증명이 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 59-62). 이전 교육과정에서 중학교 1학년과 고등학교 1학년에서 다루던 집합의 내용을 고등학교 교육과정으로 통합하였고, 명제 내용을 보완하고 증명 부분을 강화하였다(신이섭 외, 2011, p. 71).

2016년 학업성취도 평가의 집합과 명제 영역에서는 선다형 4개, 서답형 2개의 총 6문항이 출제되었으며 평가 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-5>와 같다. 정답률은 43.70%～96.90%로 정답률이 높은 문항이 많았고, 변별도는 0.24～0.61로 모든 성취수준에서 정답률이 높게 나타난 1번 문항을 제외하고는 양호하였다. 집합과 명제 영역에서는 기초학력 대표문항 1개, 보통학력 대표문항 2개, 우수학력 대표문항 3개로 성취수준별로 대표문항이 고르게 나타났다. 7개의 내용 영역 중 모든 성취수준의 대표문항이 나타난 영역은 집합과 명제뿐이다.

‘집합’에서는 우수학력과 보통학력 학생들이 모두 매우 높은 정답률(88.74%～99.85%)을 보였고 기초학력 학생들도 다른 문항과 비교하여 높은 정답률(47.30%～94.18%)을 보였다. 이는 학생들이 집합의 내용을 잘 이해하고 있음을 시사한다. 이와 같은 결과는 2016년 학업성취도 평가에 응시한 고등학교 2학년 학생들이 중학교 1학년 시기에 2007 개정 교육과정 적용 대상으로 집합의 일부 내용을 중복하여 배웠기 때문일 수 있다. 그러므로 2009 개정 교육과정에서의 집합 내용에 대한 학생들의 이해도는 2017년 평가 결과에서 보다 면밀하게 살펴볼 필요가 있다.

‘명제’에서 출제된 서답형 문항에 대한 우수학력 학생들의 정답률(94.03%～98.46%)은 매우 높았고, 보통학력과 기초학력 학생들의 정답률 차이(51.53%p～60.57%p)가 크게 나타났다. 주어진 명제의 대우를 구하는 서답형 1-(1)번의 경우 7,179명의 학생 답안 유형을 분류한 결과는 <표 IV-6>과 같다. 무응답을 제외하면 오답 중에서 ‘주어진 명제의 역 또는 이를 쓴 경우’(유형2)가 885명으로 가장 많았다. 또한 이 오답은 보통학력과 기초학력 학생들에게서 많이 나타났는데, 이는 이 수준의 학생들이 명제의 ‘역’, ‘이’, ‘대우’를 혼동하고 있음을 보여준다.

그림 Ⅳ-3. 2016년 고등학교 수학과 서답형 1번 문항

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표 IV-6. 2016년 고등학교 수학과 서답형 1-(1)번의 답안 유형

유형	내용	빈도	비율(%)	답안 유형별 비율 분포
유형1	주어진 명제의 대우를 옳게 쓴 경우	4,185	58.30
유형2	주어진 명제의 역 또는 이를 쓴 경우	885	12.33
유형3	주어진 명제를 그대로 쓴 경우	96	1.34
유형4	대우의 가정, 결론 중 하나만 옳게 쓴 경우	140	1.95
유형5	명제와 그 대우의 관계(참과 거짓이 일치함)를 설명한 경우	150	2.09
유형6	그 외의 경우	522	7.27
유형7	무응답	1,201	16.73

출처: 임해미 외(2017, pp. 224, 226)

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2009 개정 수학과 교육과정에 따른 함수 영역의 변화는 유리함수와 무리함수에서 성취기준이 통합되고 그 내용이 약화된 것과 이전 교육과정에서는 함수에서 다루던 이차함수의 활용이 방정식과 부등식 영역으로 이동된 것이다(신이섭 외, 2011, p. 72). 이에 함수 영역에는 함수, 합성함수, 역함수, 유리함수, 무리함수가 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 59-62).

2016년 학업성취도 평가 함수 영역에서는 선다형 2개, 서답형 2개의 총 4문항이 출제되었으며 평가 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-7>과 같다. 정답률은 16.88%～52.07%로 대체로 낮았고, 변별도는 0.18～0.71로 24번 문항을 제외하고는 높았다. 우수학력 대표문항이 2개이고, 나머지 2개 문항은 우수학력 학생들의 정답률이 70%에 이르지 못하였으며 이는 많은 학생들이 함수에서 성취하기를 기대하는 내용에 대한 이해가 부족한 것으로 볼 수 있다.

함수 영역에서 출제된 서답형 문항은 [그림 Ⅳ-4]에 제시된 바와 같이 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있는지를 평가하는 문항이고, 서답형 2-(1)번은 답만 쓰는 단답형, 서답형 2-(2)번은 풀이 과정과 답을 함께 쓰는 서술형 문항이다. 특히, 서답형 2-(2)번은 학업성취도 평가의 고등학교 수학과에서 처음으로 출제된 서술형 문항이다. 서술형 문항에서는 학생들의 풀이 과정을 직접 확인할 수 있으므로 학생들이 지닌 오개념, 절차적 오류 등에 대해 풍부한 정보를 얻을 수 있으므로 서술형 문항에 대한 분석 결과를 제시한다. 서술형 문항은 답안 유형을 분류하는 데 많은 시간이 소요되므로 앞서 기술한 바와 같이 심층 분석을 위해 표집한 7,179명의 답안 중 1,469명의 답안을 부분 표집하여 분석하였다. 서답형 2-(2)번의 학생 답안 유형을 분류한 결과는 <표 Ⅳ-8>과 같다.

그림 Ⅳ-4. 2016년 고등학교 수학과 서답형 2번 문항

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표 IV-8. 2016년 고등학교 수학과 서답형 2-(2)번의 답안 유형

유형	내용	빈도	비율(%)	답안 유형별 비율 분포
유형1	함수 (f ○ g)−1 (x)를 옳게 구한 경우	126	8.58
유형2	풀이 과정에서 일부 기호 사용이 바르지 않으나, 그 외의 풀이 과정과 답이 옳은 경우	108	7.35
유형3	(f ○ g)−1 = g−1 ○ f−1 를 옳게 적용하지 못한 경우	262	17.84
유형4	역함수를 옳게 구하지 못한 경우	68	4.63
유형5	그 외의 경우	231	15.72
유형6	무응답	674	45.88

출처: 임해미 외(2017, pp. 241, 244)

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‘풀이 과정에서 일부 기호 사용이 바르지 않으나, 그 외의 풀이 과정과 답이 옳은 경우’(유형2)가 7.35%의 답안에서 나타났다. 예컨대 (f ○ g)⁻¹ (x) = (f ○ g(x))⁻¹, (f ○ g)⁻¹ (x) = f(g(x))⁻¹, (f ○ g)⁻¹ (x) = f⁻¹ (g(x)) 등으로 합성함수의 역함수를 표현하는 과정에서 기호를 정확하게 사용하지 못한 경우이다. 답안 유형별 비율 분포 그래프를 보면 이 유형은 대부분 우수학력 학생들에게서 나타났음을 알 수 있다. 이는 학생들이 합성함수와 역함수의 기호를 정확하게 사용할 수 있도록 지도가 이루어져야 함을 시사한다.

‘역함수의 성질 (f ○ g)⁻¹ = g⁻¹ ○ f⁻¹을 옳게 적용하지 못한 경우’(유형3)는 17.84%의 답안에서 나타났다. f⁻¹ ○ g⁻¹, f ○ g⁻¹, f⁻¹ ○ g, g ○ f⁻¹, g⁻¹ ○ f, g ○ f 중 하나를 구하려고 시도한 답안이고, 이 중에서 가장 많이 나타난 경우는 [그림 Ⅳ-5]의 왼쪽 사례와 같이 (f ○ g)⁻¹ = f⁻¹ ○ g⁻¹로 구한 경우이다. 무응답을 제외하면 이 유형은 가장 높은 비율의 답안 유형이다. 이는 많은 학생들이 역함수의 성질 (f ○ g)⁻¹ = g⁻¹ ○ f⁻¹이 성립하는 이유에 대한 관계적 이해 없이 공식으로 암기하여 사용하는 도구적 이해 수준에 머물러 있음을 보여준다.

그림 Ⅳ-5. 서답형 2-(2)번 유형 3의 응답 사례(임해미 외, 2017, p. 243)

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‘역함수를 옳게 구하지 못한 경우’(유형4)는 4.63%의 답안에서 나타났다. ‘역함수의 성질 (f ○ g)⁻¹ = g⁻¹ ○ f⁻¹는 알고 있으나 f⁻¹ 또는 g⁻¹를 옳게 구하지 못한 경우’와 함수 ‘f ○ g를 옳게 구하였으나 역함수를 옳게 구하지 못한 경우’를 이 유형으로 분류하였다. 주어진 함수의 역함수를 구하는 서답형 2-(1)번의 답안 분석에서 나타난 대표적인 오답 유형은 ‘역함수를 구하기 위해 x와 y를 바꾸었으나 y에 관한 식으로 옳게 나타내지 못한 경우’(9.17%), ‘계수를 역수로 고치거나 계수의 부호를 바꾼 경우’(7.02%)였다. [그림 Ⅳ-6]의 응답 사례를 살펴보면, 서답형 2-(2)번을 해결하는 과정에서도 y에 관한 식으로 옳게 나타내지 못하거나(왼쪽 사례), 계수를 역수로 고쳐서 역함수를 구하는 오류(오른쪽 사례)를 확인할 수 있었다. 전자는 등식의 성질을 이용하여 식을 정리하는 데 미숙한 것으로 볼 수 있고, 후자는 역함수의 개념을 전혀 이해하지 못하고 있는 것으로 판단된다.

그림 Ⅳ-6. 서답형 2-(2)번 유형 4의 응답 사례(임해미 외, 2017, p. 244)

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수열 영역은 2007 개정 교육과정에서 고등학교 2학년 과정에서 주로 개설되는 과목 <수학Ⅰ>의 내용이었으나, 2009 개정 교육과정에서는 고등학교 1학년 과정의 <수학 Ⅱ>로 이동되었다(신이섭 외, 2011, pp. 73-74). 이때 계차수열, 알고리즘과 순서도가 삭제되어 내용이 대폭 축소되어 수열 영역에는 ‘등차수열과 등비수열’, ‘수열의 합’, ‘수학적 귀납법’이 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 59-62).

2016년 학업성취도 평가의 수열 영역에서는 선다형 5문항이 출제되었으며 평가 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-9>와 같다. 정답률은 51.96%～78.88%로 대체로 높았고, 변별도는 0.47～0.53으로 모든 문항에서 높았다. 보통학력 대표문항 3개, 우수학력 대표문항 2개로 보통학력 대표문항이 많이 나타난 영역이다.

‘등차수열과 등비수열’에서 우수학력 학생들은 매우 높은 정답률(94.46%～99.21%)을 보였고, 보통학력 학생들도 높은 정답률(71.84%～87.11%)을 보였다. 보통학력 수준 이상의 학생들은 등차수열과 등비수열의 내용을 잘 이해하고 있는 것으로 판단된다. ‘수열의 합’에서는 등차수열과 등비수열의 문항과 비교하여 보통학력 학생들의 정답률이 낮았다. 이는 ∑의 성질, 자연수의 거듭제곱의 합을 적용한 여러 가지 수열의 합에 대한 보통학력 학생들의 이해를 높이기 위한 지원이 필요함을 시사한다. ‘수학적 귀납법’에서는 수열의 귀납적 정의를 이해하고 있는지 평가하기 위한 문항이 출제되었고 전체 정답률이 74.12%로 이 내용에 대한 학생들의 이해가 높은 것을 알 수 있다.

2009 개정 수학과 교육과정의 지수와 로그 영역에는 지수의 확장과 지수법칙, 로그의 개념과 상용로그가 포함된다(교육과학기술부, 2011, pp. 59-62). 수열 영역과 마찬가지로 2007 개정 교육과정에서는 <수학Ⅰ> 과목의 내용이었으며, 고등학교 1학년 과정으로 이동되면서 상용로그의 지표와 가수 부분의 내용이 약화되었다(신이섭 외, 2011, pp. 74-75).

2016년 학업성취도 평가의 지수와 로그 영역에서는 선다형 3문항이 출제되었고, 평가 결과를 요약하면 <표 Ⅳ-10>과 같다. 3번과 12번 문항은 우수학력 대표문항이었으나, 21번 문항은 전체정답률이 38.95%로 낮았고 우수학력 학생들의 정답률도 70%에 이르지 못하였다. 거듭제곱근의 성질을 바탕으로$\sqrt{2}\sqrt[3]{8}$ 의 값을 구하는 문제(3번), 로그의 성질을 바탕으로 log₂9 · log₃16의 값을 구하는 문제(12번)에서 우수학력 학생들은 87% 이상의 높은 정답률을 보였다. 그러나 거듭제곱근의 뜻에 이해하는지 평가하는 문제(21번)에서는 약 65%의 정답률에 그쳤다. 이 문항의 경우 보통학력 학생들의 정답률도 30%에 이르지 못하였다. 많은 학생들이 거듭제곱근의 뜻을 이해하는 데 어려움을 보이고 있으므로 함수 y = xⁿ의 그래프를 이용하여 실수 a 의 n제곱근 중 실수인 것을 구하는 과정에 대한 이해도를 높일 수 있는 교수·학습 보완이 요구된다.